UNIDAD 1 MATE INTER 1 B DIC2015
UNIDAD 1
Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes
1.1 Matrices y álgebra lineal
Se aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones que tienen la forma:
a11 x1
a 21 x1
a m1 x1
a12 x 2
a 22 x 2
am 2 x2
a13 x3
a 23 x3
a m 3 x3
a1n x n
a2n xn
a mn x n
b1
b2
bm
Por medio de tres métodos utilizando matrices:
Método de eliminación de Gauss
Método de eliminación de Gauss-Jordán
Método de la Matriz Inversa X A1 b
Y tiene las siguientes soluciones:
Única solución: Puntos de intersección entre planos.
Soluciones Infinitas: Recta de intersección entre planos.
No hay solución: Planos paralelos.
1) Matrices:
Matriz: Una matriz A de mx n (m por n) es un arreglo rectangular de “mn” números distribuidos en un
orden de “m” renglones o filas (líneas horizontales) y “n” columnas (líneas verticales), de la siguiente
manera:
a11
a
21
A=
ai1
a m1
a12
a 22
ai 2
am2
a1 j
a2 j
a1n
a 2 n
ain
a mn
“A” se escribe a veces A aij .
A los elementos amn se le llama elementos de la matriz. El primer subíndice es la fila y el segundo
subíndice es la columna.
El tamaño de la matriz es m x n (m filas y n columnas).
A una matriz n x 1 se le llama vector columna. (útiles para la notación vectorial de respuestas).
A una matriz de 1 x m se le llama vector fila.
1
Ing. César Ariel Villela Rodas, Curso de Vacaciones Diciembre 2015
Tipos dematrices:
Matriz cuadrada: Si A es una matriz de m x n con m = n se dice que A es una matriz cuadrada. (Ej.)
Matriz cero: Una matriz de m x n con todas sus componentes iguales a cero, es una matriz cero de
m x n. (Ej.)
Matriz triangular: Una matriz cuadrada, se dice que es una matriz triangular si todos los elementos
que están por arriba de la diagonal principal (triangular inferior) o pordebajo de la diagonal principal
(triangular superior) son iguales a cero. (Ej.)
Matriz diagonal: Una matriz cuyos elementos por arriba y por debajo de la diagonal principal son
iguales a cero, se llama matriz diagonal. (Utilizada en el Método de Gauss-Jordán) (Ej.)
Matriz identidad: Una matriz diagonal en la que todos los elementos son iguales a uno se llama
matriz identidad. (Útil paraencontrar la inversa de una matriz). (Ej.)
Matriz escalonada: Una matriz tiene la forma escalonada cuando (Útil para resolver Método de
Gauss):
El elemento de la primera fila y primera columna es uno, y aparecen ceros debajo de esta.
El elemento distinto de cero en cada fila después del primero es uno, con ceros debajo de este,
y aparece a la derecha del primer elemento distinto de cero encualquier fila superior.
Todas las filas que solo contienen ceros a la izquierda aparecen en la parte inferior. (Ej.).
Matriz transpuesta: Sea A aij una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A, escrita A , es
la matriz n x m obtenida intercambiando las filas y las columnas de A. Abreviadamente se escribe
At (a ji ) . (Ej.)
t
At A . (Ej.)
Matriz Simétrica: Se dice que lamatriz A de n x n es simétrica si
Matriz Adjunta: Sea A una matriz de n x n y sea B que es la matriz de cofactores, dada por. (Útil al
encontrar la inversa por determinantes)
A11
A
21
B=
Ai1
An1
A12
A22
Ai 2
An 2
A1 j
A2 j
A1n
A2 n
Ain
Ann
Entonces la Adjunta de A, escrita como adj A, es la transpuesta de la matriz Bde n x n. Esto es
AdjA B t . (Se utilizará y se explicará más detalle al estudiar inversa utilizando determinantes).
2
Ing. César Ariel Villela Rodas, Curso de Vacaciones Diciembre 2015
2) Álgebra Matricial:
Se refiere a las operaciones algebraicas que se realizan a una matriz A con una matriz B, con
características específicas para poder llevar a cabo la operación. Las operaciones son las...
Regístrate para leer el documento completo.