Unidad 4: Espacios Vectoriales


Asignatura: Algebra Lineal

Hora: 18-19 hrs.

Grupo: 3513d

Prof. Ing. Faustino Ochoa Balderas

Unidad 4: “Espacios Vectoriales”

Alumno: Díaz García Nelson Enrique
#12070782
















Unidad 4 Espacios vectoriales.

4.1 Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial es un espacio de numerosos vectores diseminados en todas las direcciones en lasdos operaciones básicas; que es la adición y multiplicación escalar, que puede realizarse con el cumplimiento de las siguientes propiedades:
Considere un espacio vectorial V formado por los vectores x, y, z, a continuación, tenemos las siguientes propiedades como verdaderas:
Propiedades de la suma
1. Propiedad de operación interna: Si el vector x es parte del espacio vectorial y el vector y esparte del espacio vectorial, y el vector resultante de la suma de estos dos vectores, el cual es el vector x + y es también una parte del espacio vectorial mismo.
2. Propiedad conmutativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la suma de estos dos vectores, entonces el vector x + y es igual al vector y + x .
3.Propiedad asociativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial y el vector z es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la adición de estos tres vectores entonces el vector x + (y + z) es igual al vector (x + y) + z.
4. Identidad aditiva: todo espacio vectorial contiene un vector nulo que es un vector cero, lo que se denominacomo la identidad aditiva, de tal manera que su suma con cualquiera de los vectores en el espacio vectorial, no cambia el vector real, que es 0 + x = x.
5. Inverso aditivo: Para todos los vectores de un espacio vectorial determinado, existe un vector inversa disponible en el mismo espacio de tal manera que la suma de los dos vectores nos da un vector cero, en consecuencia si tenemos un vector xen el espacio vectorial entonces debemos también tener un vector -x del mismo vector en el espacio.
Propiedades escalares de la multiplicación:
Una multiplicación escalar es aquella en la que se multiplica un vector con cualquier cantidad escalar, que consiste en multiplicar la cantidad que contiene una dirección con una cantidad sin dirección.
1. Propiedad de operación interna: Si tenemos unvector x en un espacio vectorial dado y un número real, entonces decimos que el vector resultante de la multiplicación escalar de estas dos cantidades, debe existir también dentro del mismo espacio vectorial.
2. Propiedad distributiva: Si se tiene los vectores x y y en un espacio vectorial V y un número real, entonces la operación de a. (x + y) es equivalente a ax + ay.
3. Propiedad distributiva:Si hay un vector x en un espacio vectorial V y un número real a y b, la operación (a + b) x es equivalente a ax + bx.
4. Propiedad asociativa: Si hay un vector x en un espacio vectorial V dado y un número real a y b, entonces la operación a. (bx) es equivalente a (ab) x.
5. Propiedad unitaria: La multiplicación de cada vector en un espacio vectorial dado con una cantidad de unidas escalar darácomo resultado al vector actual.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sea V un espacio vectorial arbitrario sobre un campo F. Un subconjunto no vacío W de V es llamado subespacio lineal de V, o simplemente un subespacio, siempre que se cumplan dos condiciones:
(i) a + b 2 W siempre a, b 2 W, y
(ii) ra 2 W siempre que r 2 F.
Está claro que todo subespacio de un espaciovectorial contiene el vector cero, 0. De hecho, {0} es un subespacio propio, llamado subespacio trivial. Consideremos, por ejemplo, una ecuación lineal a, b, c, d 2 F. Si d 6= 0, entonces su conjunto de soluciones no puede ser un sub-espacio de F3 ya que x = y = z = 0 no será una solución, y por lo tanto los conjunto de soluciones no contienen 0 = (0, 0, 0)T . Por otro lado, como se señala a...