Unidad 4. Espacios Vectoriales

Unidad 4. Espacios Vectoriales
4.1. Definición de espacio vectorial.
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedadesfundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espaciovectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre sería un espacio vectorial. Un espaciovectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos quedefinir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

4.2. Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Entonces se dice que H es un sub espacio deV.
Existen múltiples ejemplos de subespacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de subespacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto novació es un sub espacio
i) Si x €
H y y € H, entonces x + y € H.
ii) Si x €
H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones desuma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en
H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii),
v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, essuficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUBESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vectorcu está en H.


4.3. Combinación lineal. Independencia lineal.
COMBINACIÓN LINEAL
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar, es decir:
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una...