unidad 4 y 5 Álgebra lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO
AZUL

Trabajo: Unidad 4 & 5
Docente: Gerardo Reyes Figueroa
Materia: Álgebra lineal
Carrera: Ing. Petrolera
Nombre De La Alumna: Núm. De Control:

Gómez Peña Adriana Alejandra 14500896


Lugar y Fecha: Cerro Azul ver, 25 de Mayo del 2015





Índice




4.1 Definición de Espacio Vectorial
4.2 Definición desubespacio vectorial y sus propiedades
4.3 Combinación lineal
Dependencia e Independencia lineal
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial
4.5 Espacio vectorial con producto interno
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
5.1 Introducción alas transformaciones lineales
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal
5.3 Aplicación de las transformaciones lineales:reflexión, dilatación, contracción y rotación.
REFERENCIAS







UNIDAD 4: Espacios Vectoriales


INTRODUCCIÓN

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representación gráfica y manejode los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 . En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente: • Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; • Podemos multiplicar un vector por un número (escalar)y obtenemos otro vector. Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3

4.1 Definición de Espacio Vectorial
Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados acontinuación.


Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como
“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial,con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar dereales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo Xpertenece a V, X+0=0+X=X.

4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y bson escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades
DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub...