UNIDAD FUNCIONES CÁLCULO DIFERENCIAL

Función uno a uno (también llamada inyectiva)
Sea: D={0,1,2,3} E={dígitos}
Sea f:D  E definida por
f(x) = x
D E
0 0
1 1
2 2
3 3
4
5
6
7
8
9
f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=3
OBSERVACIÓN: Si a≠b en D entonces f(a) ≠ f(b)
Una función con esta propiedad se llama uno-uno o inyectiva.
DEF: Una función f: A  B es uno-uno o inyectiva sí y solo sí sesatisface la siguiente propiedad
a, b Є A a≠b  f(a) ≠ f(b)
EJEM: Determine si la función f(x)=4x+7 es uno-uno.
SOL: Sea x₁≠x₂. Si f(x₁)≠f(x₂)  4x₁+7 = 4x₂+7 ­ 4x₁ = 4x₂  x₁ = x₂
Contradicción .∙. f es uno-uno.



EJEM: A(r) = πr² es una función uno-uno.
Pues si r₁≠r₂  A(r₁) ≠ A(r₂).



A(r₁) < A(r₂)




EJEM: f(x) = x³ es uno-uno pues si x₁≠x₂  f(x₁) = x₁³ ≠ x₂³ = f(x₂)
Pues dosnúmeros diferentes no pueden tener el mismo cubo.

¡NO TODAS LAS FUNCIONES SON UNO-UNO!
EJEM: Pruebe que f(x) = x² no es un-uno.
SOL: f(-2) = f(2) = 4 y 2 ≠ -2.
.∙. f no es uno-uno.







PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL PARA FUNCIONES UNO-UNO
Una función es uno-uno sí y solo sí ninguna recta horizontal intersecta a la gráfica dos veces.
EJEM:











FUNCIONES INVERSAS
Las funciones uno-uno(inyectivas) son importantes porque poseen funciones inversas.
DEF: Sea f una función uno-uno (inyectiva) con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f-1 tiene dominio B y rango A y se define por f-1(y)=x sí y solo sí f(x)=y para cualquier “y Є B”.
A B
f Es decir f-1 invierte el efecto de f.
x y
f-1

f f-1
EJEM: A B A B
1 5 5 1
3 7 7 3
5 10 10 5f uno-uno f-1 es la inversa de f



x  f f(x) f-1 f-1(f(x))=x
f-1 deshace lo que f hace
f-1(f(x)) = x


x  f-1 f(x) f f(f-1(x))=x
f deshace lo que f-1 hace
f(f-1(x)) = x

TENEMOS LAS SIGUIENTES ECUACIONES
f-1(f(x)) = x para toda x Є A
f(f-1(x)) = x para toda x Є B

NOTA: No confunda el -1 de f-1con un exponente.
COMO HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO-UNO.
PASO 1: Escribimos y = f(x)
PASO 2: Resolvemos esta ecuación para x en términos de y ( si es posible).
PASO 3: Expresar f-1 como una función de x intercambiando x ^ y. La ecuación resultante es y=f-1(x).
EJEM: En el ejemplo anterior compruebe que
f-1(f(x)) = x ^ f(f-1(x)) = x
SOL: f(x)=x³ , f-1(x)=³x.
f-1(f(x)) = f-1(x³) = ³x³= x
f(f-1(x)) = f(³x) = (³x³) = x.

EJEM: Encuentre la función de f.
f(x) = 9-7x
SOL: 1) y = 9-7x
2) y = 9-7x
7x = 9-y
x= (9-y) / 7
3) y = (9-x) / 7
f.1(x) = (9-x) / 7





EJEM: Encuentre la función inversa de f.
f(x) = 1 / (3x-1) x > 1/3
SOL: 1) y = 1 / (3x-1)
2) 3x-1 = 1/y
3x = 1/y + 1 = (1+y) / y
3x = (1+y) / y
X = (1+y) / 3y
3) y = (1+x) / 3x
f-1(x)= (1+x) / 3x
EJEM: Encuentre la función inversa de f.
f(x) = (3x-5) x ≥ 5/3
SOL: 1) y = (3x-5)
2) y² = 3x-5
y²-5 = 3x
x² = (y²-5) / 3
3) y = (x²-5) / 3
EJEM: Encuentre la función inversa de f.
f(x) = (4-x²) 0 ≤ x ≤ 2
SOL: 1) y = (4-x²)
2) y² = 4-x²
x² = 4-y²
x = (4-y²)


3) y = (4-x²)
f-1(x) = (4-x²)
f(f-1(x)) = f((4-x²) = x²) = (4-4+x²) = x² = xGRÁFICA DE f-1 A PARTIR DE LA DE f.
Dado que f(a) = b  f-1(b) = a





y = x
b (a,b)

(b,a)


a b
Obtenemos (b,a) por reflexión respecto de la recta y = x.
La gráfica de f-1 se obtiene al reflejar la gráfica de f respecto a la recta y = x.




f y = x

f-1





EJEM: Trace la gráfica de y = f(x) = √(x-1) y de su inversa.
SOL: f(x) = √(x-1)
x-1 ≥ 0  x ≥ 1


x = byf
x  bx x bx = x

f-1(y) = x f-1


FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Ya que la función exponencial y = bx (b>0 , b≠1) es uno-uno (inyectuva), tienen consecuencia una función inversa.
y = bx
b > 1
y = bx
0 < b < 1


Como la función inversa invierte el efecto, entonces debe dar el exponente.







DEF: La función logarítmica con base b, f(x) = logbx es la...