Unidad III CD

(Unidad III Editada utilizando Word Web App)
3.1 Concepto de derivada de una función
Competencia:Conocer la naturaleza del concepto derivada de una función mediante el
análisis de su interpretación geométrica para la comprensión del proceso llamado
derivación de una función.

En la Unidad I de este curso se analizó la teoría fundamental relacionada a funciones
de una variable; en la UnidadII se presentó los teoremas relacionados a límites y
continuidad de funciones; la Unidad III es la unificación de dichos temas para lograr
comprender la definición e interpretación geométrica del concepto base del Cálculo
Diferencial llamado:la derivada de una función.

La historia y evolución del Cálculo se remonta desde tiempos tan antiguos como la
cultura matemática griega del siglo IIA.C. pasando por etapas muy enriquecedoras
como los siglosXVII, XVIII y XIX. Muchos matemáticos han contribuido a su desarrollo,
sin embargo, su invención se le atribuye generalmente a dos grandes personajes de la
ciencia: Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

La determinación de la pendiente de una recta tangente en la curva de una función fue
un problemamatemático que resultó un reto para los matemáticos del siglo XVII. En la
actualidad sabemos cómo determinar la pendiente de una curva aplicando nociones
geométricas y límites, tal como se definió al finalizar la Unidad II, en el tema 2.8 Razón
de cambió.Muchos problemas de la ingeniería involucran la determinación de dichas
pendientes en puntos específicos de una gráfica.

Haciendo referenciaa la Fig. 3.1.1 vista con anterioridad, podemos observar la
nomenclatura matemática relacionada a una función, así como la presencia de una
recta tangente y una recta secante.

9
8
7
6
5
4
3
2
1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1
−2

Fig. 3.1.1

Se recuerda que se definió la pendiente de una recta tangente como una aproximación
dinámica de diversas rectassecantes trazadas sobre la trayectoria de una curva f (x ) .

Esta aproximación dinámica, al expresarla mediante la aplicación de un límite
matemático, nos lleva a lo siguiente:

mtan = aprox. msec = lim
h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h

Este límite, se conoce como derivadade la función original, ya que como se puede
observar, al aplicarlo generauna “nueva” función, misma que nos permiteconocer la
pendiente de una recta tangente a la gráfica de f (x ) en cualquier punto (siempre y
cuando esta recta tangente exista en dicho punto). Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3.1.1 Determinar la derivada de la función f ( x) = x 2 + 1
Solución:

f ′(x )

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
2
[( x + h) + 1] − [ x 2 + 1]
= lim
h→0
h
= lim
h →0

[ x 2 + 2 xh + h 2 + 1] − [ x 2 + 1]
h →0h

= lim

2 xh + h 2
=
h →0
h

lim( 2 x + h)

= lim

h→ 0

= 2x

Al proceso de aplicar este límite a una función se le conoce como derivación o
diferenciación.En este ejemplo hemos encontrado que la derivada de f (x ) es

f ′( x ) = 2 x , por lo que si deseamos conocer la pendiente de la recta tangente de la
función f ( x) = x 2 + 1 en el punto x = 1 solo basta sustituir en lafunción derivada el
valor de x . De esta manera el valor de la pendiente es 2, lo cual puede ser fácilmente
verificable en la figura 3.1.2.

9
8
7
6
5

f ( x) = x + 1
2

m tan = 2

4
3
2
1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1
−2

Figura 3.1.2

Además de f ′(x ) , existen varias notaciones para representar una derivada, como por
ejemplo:

Dx f ,

d
dy[ f ( x )] , y ′ ,
dx
dx

Algunas de las más comunes son la notación de primas ( y ′ ) y la llamada notación de
Leibniz(

dy
), misma que se lee “derivada de y con respecto a x ”.
dx

Tomando como referencia lo ya mencionado, podemos estructurar una definición
formal de lo que es una derivada.

DEFINICIÓN 3.1.1.

La derivada de una función

La derivada de la función f (x )...