Unidad V

Serie
Definición de serie
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puedeconsiderar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2,4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es remplazada por la suma de los términos iniciales de la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón deconvergencia efectiva para la serie correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes
Propiedades:
1. Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de la sucesión diverge, la serie también diverge.
2. En caso que el resto de algunaparte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.
3. Si una forma serie de
4. Si la serie de la forma la forma converge, converge también.
Entonces converge, entonces la serie de la forma la serie de converge.
5. La serie converge, sólo con la condición de que también converja. es convergente si α> 1 y

6. Se dice que una serie de la forma diverge en el casoinverso, es decir, cuando α 0, el cual satisface la condición, n>nε. Aquí p es un entero positivo.
Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de series sean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.
Por otro lado, si se cumple la condición, entonces la seriediverge.
Convergencia
Por definición, la serie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como

Series Finitas
Al contrario de la serie infinita que contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y elúltimo término.
Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:
Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). A i denota el término general.
Las series finitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.
Existen dos tipos posibles de seriesfinitas:
Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10…}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.
Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser{4, 8, 16…}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.
Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice quela serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.
Propiedades de las series finitas:
1. La suma o resta de dos series...