UNIDAD1

UNIDAD I. PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

Conceptos clave:

1. Proceso iterativo:
La idea fundamental de un proceso iterativo consiste en lo siguiente: dada
una o varias situaciones iniciales (Etapa 0), se les aplica alguna transformación,
llamada transformación iterativa, la cual convierte a la situación o situaciones iniciales en otras, llamadas resultado, que pasan a ser consideradascomo nuevas
situaciones iniciales en el proceso.
2. Proceso infinito:
La noción de proceso infinito se centra en una operación iterativa e ilimitada,
es decir, que por muy grande que sea el número de veces que se realiza el proceso, siempre es posible efectuar uno más, y otro más, y así sucesivamente, hasta
el infinito.
Ejemplo 1.1
Si la transformación iterativa consiste en girar 90 en
sentidocontrario a las manecillas del reloj a partir de su posición inicial (Etapa 0), la carita de la figura siguiente:

(Etapa 0)
(Inicial)
P1. Anota dentro de los paréntesis de las figuras siguientes los números
1, 2 y 3, según el resultado de aplicar a partir de la posición inicial de la carita la
transformación iterativa, en las tres siguientes etapas que se realice el proceso.

(Etapa ___)
(A laderecha)

(Etapa ___)
(A la izquierda)

Unidad 1. Procesos Infinitos y la Noción de Límite

(Etapa ___)
(De cabeza)
1–1

P2. Según el concepto clave 2, este proceso ¿es un proceso infinito?
P3. Indica en que etapas la carita tiene la posición:
a) Inicial.
b) A la izquierda.
c) De cabeza.
d) A la derecha.
P4. ¿Cuál será su posición en las etapas 46 , 53 , 56 y 59 ?

Ejemplo 1.2
Considerando como etapa0 un segmento de recta, aplicar
como transformación iterativa: dividir el segmento en tres segmentos congruentes (de la misma longitud) y eliminar el segmento
central.
Este proceso es infinito y produce como resultado final un
conjunto infinito de puntos conocido como el Conjunto de Cantor,
en la figura siguiente se tiene el resultado (etapa 1) de aplicar la
transformación a la etapa 0.

(Etapas0 y 1)
Si ahora aplicamos la transformación a los dos segmentos obtenidos en la
etapa 1, obtenemos como resultado en la etapa 2 los cuatro segmentos mostrados
en la última fila de la figura siguiente:
1–2

Unidad 1. Procesos Infinitos y la Noción de Límite

(Etapas 0,1 y 2)
Si a continuación aplicamos a cada uno de los segmentos de la etapa 2 la
transformación, obtendremos como resultado en laetapa 3, los 8 segmentos mostrados en la última fila de la figura que sigue.

(Etapas 0,1, 2 y 3)
Y podemos proceder así sucesivamente hasta el infinito.
P1. ¿Cuántos segmentos se obtendrán como resultado en la etapa 4?
P2. ¿Y en la etapa 5?

¿Cuántos segmentos habrá cuando el número de etapas tienda al infinito?
Para responder primero tendremos que determinar el número de segmentos
en la enésimaetapa, para lo cual observamos que todos los resultados hasta la
etapa 5, son potencias de 2:
En la etapa 0 hay 1 20 segmentos.
En la etapa 1 hay 2 21 segmentos.
En la etapa 2 hay 4 22 segmentos.
En la etapa 3 hay 8 23 segmentos.
Unidad 1. Procesos Infinitos y la Noción de Límite

1–3

En la etapa 4 hay 16 24 segmentos.
En la etapa 5 hay 32 25 segmentos.
P3. ¿Cuántos segmentos habrá en la etapa n?

Ahora sí podemos determinar el número de segmentos cuando el número de
etapas tienda al infinito, esto es, cuando n tiende al infinito , recuerda que esto
último se simboliza n
.
La respuesta estará dada por el límite al infinito de 2 n , es decir debemos encontrar el límite de 2n cuando n tiende al infinito , lo cual se simboliza lím 2 n .
n

Concepto clave:

3. Límite de r n cuando n tiendeal

0 , entonces lím r n

0

b) Si r 1 , entonces lím r n

1

a) Si r

n

n

:

c) Si r 1 , entonces lím r n
n

d) Si 0 r 1, entonces lím r n
n

0

e) Si c es una constante, entonces lím c
n

c

f) Si c es una constante, entonces lím c r n
n

c lím r n
n

Conviene repasar que las expresiones sobre límites incluidas en el concepto
clave 3, tienen los siguientes significados:
1. La expresión lím r...