universida






MATEMATICA I






UNIDAD II




LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES





















Ciudad Universitaria, abril de 2014

2.1 LIMITE DE FUNCIONES. Límite Laterales

Existe una definición formal para el Límite de una función que no abordaremos en este curso. Nos conformaremos conla definición intuitiva.

2.1.1 Definición intuitiva de límite de una función

Consideremos las funciones siguientes:


Ahora veremos, en ambas funciones, a qué valor tiende cada una de ellas ( a que valor de Y) cuando la variable se aproxima a 2 por la izquierda de 2 , es decir, para valores menores que 2.

Para ello elaboraremos una tabla de valores para cada caso:




1.9
13.93.9
1.99
103.99
3.99
1.999
10003.999
3.999
1.9999
10,003.9999
3.9999
1.99999
100,003.99999
3.99999
1.999999

3.999999

Observemos que mientras los valores de se van aproximando cada vez mas a 2 por la izquierda, denotado por , los valores de la función g se aproximan cada vez más a 4. En vista de ello, decimos que el límite cuando tiende a 2 por la izquierda es 4, expresadoen símbolos como

Por otra parte, de la tabla podemos observar también que cuando tiende a 2 para valores menores que 2, crece sin tope. Puesto que no existe un número al que se acerque más y más. En este caso, decimos que el límite de cuando tiende a 2 por la izquierda de no existe, lo que expresamos

De igual manera, veamos lo que sucede con los valores de las funciones cuando seaproxima a 2 por valores mayores que 2. Usaremos la notación para expresar que tiende a 2 por la derecha. La siguiente tabla muestra algunos de esos valores:











De nuevo, la tabla sugiere que se acerca más y más a 4, por lo que diremos que el límite de cuando tiende a 2 por la derecha es 4; en símbolos,

Además, la tabla también sugiere que decrece sin límite cuandotiende a 2 por la derecha (por valores mayores que 2). Como no hay ningún número al que tienda, decimos que

Se llaman límites laterales a
El hecho de que los dos límites laterales son iguales, se resume diciendo que el límite de cuando tiende a 2 es 4; en símbolos


Por otra parte, como no hay valor común para los límites laterales de (de hecho, no existen), se dice que el límitecuando tiende a 2 no existe; en símbolos


Observaciones:
1) Para determinar el límite de una función cuando nos aproximamos a un cierto valor , en la práctica no lo haremos numéricamente, si no que más adelante veremos algunos teoremas que facilitará dicho cálculo.
2) Notemos que un límite existe si, y sólo si, los dos límites laterales existen y son iguales. Es decir,

3) La noción delímite analiza el comportamiento de la función cerca de un punto de interés, pero no en el propio punto.
Observemos ahora que factorizando el numerador de podemos escribir

Observemos que este límite, se puede encontrar acercándonos a 2 tanto por la izquierda como por la derecha y nos daría 4. Es decir,
Gráficamente,

En general, si , decimos que

Es decir, cuando los valores de x losaproximamos tanto como queramos al valor de por la izquierda y también por la derecha de , el valor de la función se aproxima a L.

Gráficamente

Ejercicio 1: De la gráfica siguiente, determinar a) b) c)
d) e) f) g) h) i)


2.2 Teoremas de Límites

Ya que hemos comprendido la definición de Límite, es necesariodesarrollar algunos medios para calcular Límite de funciones sencillas y para ello enunciaremos algunos teoremas que nos ayudarán a calcularlos.
Teorema 2.2.1
Para cualquier constante c y cualquier número real ,

En otras palabras: “El límite de una función constante es la misma constante”


Ejemplo 1: Si

El límite de cuando se aproxima a – 4 es 5, es decir,
Gráficamente lo podemos...