Universidad

HOJA DE TRABAJO – Máximos y Mínimos
Criterio de Segunda derivada y Multiplicadores de Lagrange
MATEMÁTICA INTERMEDIA 2
ING. FRANCISCO GARCÍA / AUXILIARMARIELA BENAVIDES
I SEMESTRE 2012

Una caja rectangular descansa en el plano (x,y) con uno de sus vértices en el origen, el vértice opuesto está en el plano6x+4y+3z=24 a) Dibuje la porción del plano que se encuentra en el primer octante junto con la caja rectangular. b) Halle el volumen máximo de la caja porCriterio de segunda derivada. c) Halle el volumen máximo por Multiplicadores de Lagrange.
a)
Plano 6x+4y+3z=24

b)
V=xyz
Pero despejando z de 6x+4y+3z=24ya que uno de sus vértices está en dicho plano,
z=24-6x-4y3=8-2x-43y
Entonces,
V=xy8-2x-43y=8xy-2x2y-43xy2
Vx=8y-4xy-43y2
Vy=8x-2x2-83y
Encontrando lospuntos críticos
Vx=8y-4xy-43y2=0
Vy=8x-2x2-83y=0
Resolviendo el sistema,
y=0, y=-3x+6
x=0, x=43→y=2
Puntos críticos: 0,0, 43,2
Encontrando segundasderivadas:
Vxx=-4y , Vyy= -83x, Vxy=8-4x-83y
Entonces,
D=-4y -83x- 8-4x-83y2
D0,0=0-82=-64<0
D43, 2=-42-8343- 8-443-8322=21.33>0
Por lo que(0,0) es un punto silla y 43, 2 es un máximo.
Entonces el volumen máximo de la caja es
V=432 8-243-432= 7.11u3

c)
Función Objetivo : V=xyz
FunciónRestricción: 6x+4y+3z=24 →gx,y,z=6x+4y+3z-24
∇f=λ∇g
Entonces fx=λgx fy=λgy fz=λgz
Entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
yz=6λxz=4λ
xy=3λ
6x+4y+3z=24
Al resolver el sistema obtenemos, x=43, y=2 , z=83 , λ=89
Entonces el Volúmen máximo de la caja es Vx,y,z=43283=649=7.11 u3