Uso de relaciones

Uso de Relaciones 
Las relaciones que son parte de un modelo matemático están a menudo implícitamente representadas por 
una estructura de datos. 
Aplicaciones numéricas, recuperación de información y problemas de redes son algunos ejemplos donde 
Las relaciones ocurren como parte de la descripción del problema, y la manipulación de relaciones es 
Importante en la resolución deprocedimientos. 
Las relaciones también juegan un importante papel en la teoría de computación, incluyendo estructuras de programas y análisis de algoritmos. 
Ya dos relaciones importantes entre proposiciones: la implicación y la equivalencia. 
También hemos estudiado la relación de subconjunto para conjuntos. En ´algebra y cálculo son importantes 
Las relaciones entre variables; en geometría lo son lasrelaciones entre figuras. Hasta el momento 
No hemos necesitado una definición precisa de la palabra relación. Sin embargo, sin una definición formal es difícil responder preguntas sobre relaciones. 
Existen relaciones entre elementos, entre conjuntos y entre elementos y conjuntos, relaciones de inclusión entre conjuntos; relaciones como “mayor que” o “menor o igual que” 
Entre números, etc. Lamaten ática intenta, como ahora veremos, hacerse eco de tales sucesos y, mediante un proceso de abstracción, expresarlas y estudiarlas científicamente. 
Sean los conjuntos A1, A2,. . ., En. Una relación R sobre A1×A2×· · ·×En es cualquier subconjunto 
De este producto cartesiano, es decir, 
R _ A1 × A2 × · · · × En 
Si R =; llamaremos a R, la relación vacía. 
Si R = A1 × A2 × · · · × An,llamaremos a R la relación universal. 
Si A = A, 8i = 1, 2,. . ., n, entonces R es una relación n-aria sobre A. 
Si n = 2, diremos que R es una relación binaria y si n = 3, una relación ternaria.



Relaciones Binarias 
Una relación binaria es una relacion matematica R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados 

Lasproposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria.



Matriz de relación
Una matriz es una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. Se etiquetan los renglones con elementos de X (en algún orden arbitrario), y se etiquetan las columnas con elementos de Y (orden arbitrario). Luego el elemento en el renglón x y la columna y se hace igual a 1 si xRy, y 0de otra manera. Esta matriz se llama matriz de la relación R. 
Grafos
Existen varios tipos de grafos:
a) Un grafo no dirigido G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de aristas (o arcos) tal que cada arista e ? E se asocia con un par no ordenado de vértices. Entonces se puede decir que si existe una arista e entre un par de vértices v y w, esta puede ser igual a: e = (v, w) o e = ( w, v)




Propiedades de Relaciones
Ejemplos de las propiedades de las relaciones 
a) Reflexiva 
La relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

Se dice que es reflexiva por que cada elemento x ∈ X, (x, x) ∈ R; los pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R. Si observamos ladi gráfica de la relación reflexiva, encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice. 

b) Simétrica 
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: 
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

“no es simétrica”, por cuanto no cumple la definición que dice: “si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R”. 

c) Transitiva Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: 
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

“es una relación transitiva R sobre el conjunto X”, por cuanto cumple la definición que dice: “x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R”. 

Específicamente tenemos (1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3); (1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4); (2, 3), (3,...