uso eficiente del agua

USO DEL MÉTODO IMPLICITO DE DIRECCIÓN ALTERNATE
Universidad Nacional de Colombia
Especialización Aprovechamiento de Recurso Hidráulico
Simulación Hidráulica
Por: Carlos Augusto Asprilla Guisado


1. INTRODUCCIÓN

Dentro de las herramientas para la solución de los problemas de la ingeniería actual podemos contar con los métodos para la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales quese plantean para los diferentes casos que se encuentran a diario. Uno de estos casos en particular es analizar la transmisión de calor en una placa o elemento que es sometido a los cambio de temperatura.

Estas Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), poseen diferentes ordenes y dependiendo de este orden se clasifican en EDP de segundo orden y tercer orden; en este sentido se dice que una EDPes lineal, si es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables independientes. Por otro lado, las EDP han sido clasificadas por categorías de acuerdo a los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada (Vichnevetsky, 1981 o Lapidus y Pinder, 1981); para ello tenemos tres categorías que son:
a) Elíptica –Ecuación de Laplace (Estado estacionario con dos dimensiones espaciales).
b) Parabólica – Ecuación de conducción de calor (variable de tiempo y una dimensión espacial).
c) Hiperbólica – Ecuación de Honda (variable de tiempo y una dimensión espacial).
Para el caso del problema analizado, la ecuación de conducción de calor es una ecuación categorizada como parabólica en dos dimensiones.
El métodoImplícito de Dirección Alternante; es el uno de muchos métodos, el cual utilizaremos para resolver el problema No. 3, especialmente usando matrices tridiagonales. Este método ejecuta dos pasos de cálculo, en el primer paso se usa la primera ecuación y la cual es solamente implícita en la dirección x, y la segunda exclusivamente en la dirección de las y.

2. MODELO

El método de soluciónexplicito en el que las derivadas respecto del espacio se aproximan en el nivel de tiempo tn, conduce a la ecuación de diferencias que sigue:

La resolución de esta ecuación no presenta dificultades y por lo tanto no se analizara a continuación, excepto para indicar que se debe tener en cuenta la siguiente limitación entre los incrementos de espacio y tiempo con el fin de garantizar la estabilidad:Por otra parte, el método implícito nos conduce a la siguiente ecuación en diferencias:

Que desarrolla completamente para el caso más simple en que la retícula o malla se cuadrada y resulta

En esencia el principio consiste en el empleo de dos ecuaciones en diferencias que se utilizan por turno para escalones sucesivos del tiempo de magnitud . La primera ecuación es solamente implícitaen la dirección x, y la segunda exclusivamente en la dirección de las y. Por lo tanto si suponemos que es un valor intermedio al final del primer escalón de tiempo, tendremos:

Seguido por:

Estas operaciones gráficamente se pueden analizar de acuerdo a esta grafica


3. DESARROLLO DEL PROBLEMA

Como primera medida se estableció el contorno (cuadrante) para desarrollar las condicionesde frontera y condiciones iniciales dadas por el problema, se muestra a continuación:




Una vez realizado todo el análisis del caso y configurado la programación en ambiente MATLAB se obtuvieron los resultados que se muestran en el próximo aparte.

RUTINA DE MATLAB
% DAOTS DE ENTRADA
DTAU= 0.05;
TMAX= 0.95;
N= 10;
IFREQ= 1; % ?
% EN EL INSTANTE TAU= 0, LA TEMPERATURA ES NULA ENCUALQUIER PUNTO,
% Y LAS CARAS EXTERNAS DE LA BARRA SE MANTIENEN A LA TEMPERATURA T= 1.
NP1= N+1;
FLOATN= N;
DX= 1/FLOATN;
RATIO= DTAU/(DX*DX);
% ADJUDICA LOS VALORES INICIALES Y DE CONTORNO
for i= 1:N
T(i,NP1)=1;
T(NP1,i)=1;
TSTAR(i,NP1)=1;
TSTAR(NP1,i)=1;
for j=1:N
T(i,j)=0;
TSTAR(i,j)=0;
T(NP1,NP1)=1;
TSTAR(NP1,NP1)=1;...