valor absoluto

desigualdades y ecuaciones con valor absoluto

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Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor
Absoluto
La resoluci´ n de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto,requiere de dos
o
procedimientos (Caso 1 y Caso 2), en que se utilizan las mismas leyes de una ecuaci´ n y de una inecuaci´ n
o
o
lineal normal.
Definici´ n de Valor Absoluto
o
El valor absoluto deun n´ mero real x se denota por |x| y se define como sigue:
u
x,
si x ≥ 0
−x, si x < 0

|x| =

Veremos ahora unos teoremas que nos servir´ n para resolver las ecuaciones.
a
Teorema 1: Paracualquier n´ mero real x:
u

1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 ←→ x = 0
3. |x|2 = x2
4.

√

x2 = |x|

5. −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 2: Para cualquieras n´ meros reales x y a:
u

|x| = a ←→



a≥0
y


x = a y/o x = −a

Teorema 3: Para cualquieras n´ meros reales x y a:
u
|x| = |a| ←→ (x = a y/o x = −a)

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Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez
a
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Teorema 4: Para cualquieras n´ meros reales x y a:
u
1. |x| ≤ a ←→ −a ≤ x ≤ a
2. |x| ≥ a ←→ x ≤ −a ∨ a ≤ x
Teorema 5: Para cualquieras n´ meros realesx y a:
u

1. |x + a| ≤ |x| + |a|
2. |x · a| = |x| · |a|

Ejemplo 1: Resolver la ecuaci´ n |x − 8| = 12.
o
Soluci´ n: por el Teorema 2, la primera desigualdad es obvia (12 ≥ 0). Por la segundadesigualdad
o
tenemos dos casos para analizar

Caso 1:
Si x − 8 ≥ 0 entonces, |x − 8| = x − 8.

Caso 2:
Si x − 8 < 0 entonces, |x − 8| = −(x − 8).
-(x-8)=12

x-8=12

x-8=-12
x=12+8x=-12+8

x=20

x=-4

Ahora bien la soluci´ n; S={x/ |x − 8| = 12 }={-4,20}
o
Ejemplo 2: Resolver la ecuaci´ n: |2x + 1| = x + 3.
o
Soluci´ n: por el Teorema 2, tenemos las siguientes opciones.o
|2x + 1| = x + 3 ←→





x+3≥0
y


2x + 1 = x + 3 y/o 2x + 1 = −(x + 3)

Por la primera desigualdad, claramente x tiene que ser mayor que -3.
x+3≥0
x ≥ −3.

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