Valor absoluto

VALOR ABSOLUTO
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es − 3 = 3 . Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valorabsoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces a = a y si está a la izquierdadel origen, es decir si a es negativo, entonces a = −a . Esto lo escribimos en la siguiente definición

Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:  x, si x ≥ 0  x = − x,si x < 0   Veamos los siguientes ejemplos Ejemplo 1 1 1 a.- = 2 2 1 1 1 = −(− ) = . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la 2 2 2 deja igual y a una cantidad negativa le cambia elsigno. b.- − c.- Si x>2 entonces x − 2 = x − 2 , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signopositivo y el valor absoluto lo deja igual. d.- Si x 2

Dividimos entre -3 ambos lados

ó

2 x − 3 < −2

Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como en elcaso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos la segunda desigualdad, manteniendo el conectivo “o” 2x − 3 > 2 ó 2 x − 3 < −2
Sumamos 3 a cada lado de ladesigualdad

2x > 5 2x < 1 ó Dividimos entre 2 ambos miembros 5 1 x> x< ó 2 2 Así las soluciones de la desigualdad 10 − 3 | 2 x − 3 |< 4 es el conjunto 1 5 (−∞, ) ∪ ( , ∞) 2 2 Representados por

Elsiguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son triviales: R ó ∅ o un punto. Ejemplo 3.- Resolver a) | x − 1 |≤ −3 b) 1− | 2 x − 3 |< 4 ; c) | x − 3 |≤ 0 Solución:...