valor absoluto

CALCULO

CAPITULO

N O. 1

1.3.- V A L O R A B S O L U T O
OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Valor Absoluto
y sepa emplearlo en la resolución de desigualdades.

1.3.1.- Definición de Valor Absoluto.
El valor absoluto de un número cualquiera A se define como la distancia del numero en
cuestión a un origen previamente establecido y se representa como | A |. En estesentido, se
dice que la magnitud de un número, siendo una distancia NO tiene signo, es decir, NO tiene
dirección. Es lo que se llama un escalar. Dado que un número cualquiera puede ser
representado sobre la recta numérica, su valor absoluto nos indica la posición relativa del
número con respecto a un origen arbitrario situado en el cero. Para calcular la magnitud de
un número cualquiera se emplea lasiguiente definición matemática:
| A | = A SI A ≥ 0
| A | = -A SI A < 0
Por ejemplo:
Si A = 8, entonces | 8 | = 8
Y si A = -8, entonces | -8 | = - (-8) = 8
1.3.2.- Propiedades del Valor Absoluto.
El Valor Absoluto tiene una serie de propiedades asociadas con la suma, la multiplicación y
sus operaciones inversas. Esta serie de propiedades son muy útiles al momento de trabajar
condesigualdades. Entre otras tenemos las siguientes:
1.- | a b | = | a | | b |
2.- | a / b | = |a| / | b |
3.- | a + b | ≤ | a | + | b | → desigualdad del triangulo
4.- | a – b | ≥ | a | - | b |

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1.3.3.- Desigualdades que implican Valor Absoluto.
Por otro lado, en ocasiones es necesario indicar algún númerocomprendido dentro de un
intervalo dado mediante la notación de valor absoluto. Para estos casos tenemos las
siguientes propiedades.
1.- La notación | A | ≤ a

significa que A cumple con:

-a ≤ A ≤ a

2.- La notación | A | ≥ a

significa que A cumple con:

A ≤ -a

3.- La notación | A | < a

significa que A cumple con:

-a < A < a

4.- La notación | A | > a

significa que A cumplecon:

-a > A

ó A ≥ a
ó A> a

Ejemplo.Indique utilizando la notación de valor absoluto el intervalo que satisface que:
| x | ≥ 20
Note que se trata del caso No. 2. Entonces y de acuerdo con lo indicado, el intervalo que
satisface es aquel que contienen los números que satisfacen que:
x ≤ - 20

ó

que x ≥ 20

La notación mediante operaciones de conjunto queda dada por:
( -∞, -20 ) ∪( 20, ∞ )
Representación Gráfica de la Solución.

Cualquier x por este lado
cumple que x≥ 20

Cualquier “x” por este
lado cumple que x≥ 20
5

-20

0

15
20

1.3.4.- Valor Absoluto Compuesto.- En cualquier caso, la definición que hemos dado para
determinar el intervalo solución de un valor absoluto es aplicable independientemente de

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que este contenido dentro de las barras. Lo que halla dentro de las barras recibirá el
tratamiento indicado, por ejemplo, sea el problema:
Determine el intervalo de valores que acepta “ x ” tal que satisfaga que:
|2x - 1| > 4
Para encontrar los valores pedidos, quitamos las barras usando la regla contenida en el
renglón No. 3 quedando ladesigualdad dada por:
-4 > (2x – 1) > 4
Enseguida agrupamos las constantes de un solo lado, pasando a la izquierda y a la derecha
el “ -1 “ según las reglas del álgebra, es decir, pasa como “ 1 “
-4 + 1 > 2x > 4 + 1
Después hacemos las operaciones indicadas y luego despejamos el coeficiente de la “ x “,
que en este caso es el “ 2 “, observando otra vez las reglas del álgebra, es decir, pasa a laizquierda y a la derecha dividiendo al número correspondiente.
-3/2 > x > 5/2
Y este es el intervalo solución: Todas las “x” menores de –3/2 o mayores que 5/2 satisfacen
el valor absoluto del ejercicio.
La representación gráfica de tal intervalo es la que se muestra enseguida.

-4

-3/2

0

5/2

4

En notación de conjuntos la solución queda dada de la siguiente manera:
( -∞, - 3/2...