VALOR ESPERADO DE LA DISTRIBUCI N Distribuci N Binomial E Hipergeom Trica

VALOR ESPERADO DE LA
DISTRIBUCIÓN
Se define el valor esperado de una
distribución discreta de probabilidad como
sigue

μ= Ʃ Xj*Pj

VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN
Se define la varianza de una
distribución discreta de probabilidad
como:

σ² = Ʃ[Xj – E(Xj)]² * P(Xj)

Ejemplo:
Un vendedor de autos vende la mayor cantidad de
vehículos el sábado. Él desarrolló la siguiente
distribución de probabilidadesde la cantidad de
autos que espera vender un sábado determinado.
# DE AUTOS PROBABILIDAD
VENDIDOS (X)
P(X)
0
1
2
3
4

0,10
0,20
0,30
0,30
0,10
1,00

1. De qué tipo de distribución se trata?
2. Cuántos automóviles espera vender un sábado
normal
3. Cuál es la varianza de la distribución?
Respuesta:
1. Se trata de una distribución de probabilidad discreta
2. y 3. Se trata del valor esperado y lavarianza de la
distribución
# DE AUTOS

PROBABILIDAD

VENDIDOS (X)

P(X)

0
1
2
3
4

0,10
0,20
0,30
0,30
0,10

0
0,2
0,6
0,9
0,4

0,441
0,242
0,003
0,243
0,361

1,00

2,1

1,29

μ =∑ X*P(X) σ²=∑((X-μ)²*P(X))

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE PROBABILIDAD

Por lo anterior, podemos indicar que el vendedor
espera vender a lo largo de una gran cantidad de
sábados un promedio de2.1 por sábado
La varianza de la distribución es de 1.290
automóviles por lo tanto su desviación estándar
será √1.29 = 1.136
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Tiene sentido utilizarla cuando se está
interesado en encontrar la probabilidad de que
existan “x” éxitos en un proceso de “n” pruebas,
si existe la probabilidad “p” de éxito en cada
prueba
b(x;n,p) =

CARACTERÍSTICAS
• Existen solo dosresultados posibles: éxito
y fracaso
• La probabilidad de un éxito es la misma en
cada ensayo
• Hay n ensayos en donde “n” es constante
• Los “n” ensayos son independientes

Ejemplo
Se lanza al aire una moneda normal tres (3) veces,
determine la probabilidad de que aparezcan dos (2)
coronas.

Respuesta:

c=0,5
c=0,5
e=0,5
c=0,5
e=0,5
e=0,5

c= 0,5
e =0,5
c=0,
5
e=0,5
c=0,5
e=0,5
c=0,5
e=0,5

Cuál es suespacio muestral?
E= ccc, cce, cec, cee, ecc, ece,
eec, eee
 Por lo tanto P(2 coronas) =

Por fórmula Binomial
b(2;3,0,5)=

* 0,5 *2 (1 - 0,5)

3 -2=

0,375

Ejemplo
• Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener
una molécula rara particular. Suponga que las muestras son
independientes con respecto a la presencia de la molécula rara.
• Encuentre la probabilidad de que en 18muestras, exactamente
2 contengan la molécula rara.
Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula
rara en las siguientes 18 muestras autorizadas. Entonces X es una
variable aleatoria binomial con p = 0,1 y n = 18. Por lo tanto:
2

P(X=2) =

16

*(0,1) * (0,9) = 0,284

Cuando se pregunta la probabilidad de que exactamente algo suceda, se debe
tener presente:

b(x; n, p)
la fórmula siempreva a calcular la exacta.
Pero si la pregunta es: “al menos”, “a lo sumo”, “a lo más”, “más de”,
“menos de”, etc., el cálculo de éstas cambia, ya que se habla de
probabilidades acumuladas
B(x; n, p)

Se puede utilizar la fórmula para calcularlas, pero tiene cierto grado de dificultad,
por lo tanto, se hace uso de la tabla de probabilidades acumuladas de la
distribución binomial

Se debe recordarque los valores son acumulados
y se utilizan las siguientes reglas:
•Si nos preguntan “exactamente”
b(x; n, p) = B(x; n, p) – B(x 1; n, p)
• Si nos preguntan “a lo sumo”, “a lo más”,
“menos de”
B(x; n, p) = Será
lo que diga la tabla
•Si nos preguntan “al menos”, “más de”,
B(x; n, p) = 1 – B(x – 1;n, p)

Cómo se utiliza la tabla?
Esta tiene en su encabezado los valores de “ p” (probabilidades) quevan
desde 0.05 hasta 0.95
Además, tiene 2 columnas principales con los valores de “n” (Tamaño de la
muestra) y “x” (éxitos o fracasos)

Ejemplo:
Se sabe que el 60% de los ratones vacunados con un suero quedan
protegidos contra cierta enfermedad. Si se vacunan 5 ratones, encuentre
la probabilidad de que:
a. 1 contraiga la enfermedad
b. Menos de 2 contraigan la enfermedad
c. Más de 3 contraigan...