DISTRIBUCI N HIPERGEOM TRICA 2

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
(ir a script de la hipergeométrica)    
        Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie deextracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o selección , o bien la consideración de una población muy grande. Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes . En ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica viene acubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades no constantes (sin reemplazamiento) .
    La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.
    Modeliza , de hecho, situaciones en las quese repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución .fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otrosprocesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.
    La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características:
 El proceso consta de n pruebas , separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles.
 Cada una de las pruebas puede dar únicamente dosresultados mutuamente excluyentes: A y no A.
 En la primera prueba las probabilidades son :P(A)= p y P(A)= q ;con p+q=l.
Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores.
 (Derivación de la distribución) . Si estas circunstancias a leatorizamos de forma que la variablealeatoria X sea el número de resultados A obtenidos en n pruebas la distribución de X será una Hipergeométrica de parámetros N,n,p     así    
Un típico caso de aplicación de este modelo es el siguiente :
                            Supongamos la extracción aleatoria de n elementos de un conjunto formado por N elementos totales, de los cuales Np son del tipo A y Nq son del tipo  (p+q=l) .Si realizamoslas extracciones sin devolver los elementos extraídos , y llamamos X. al número de elementos del tipo A que extraemos en n extracciones X seguirá una distribución hipergeométrica de parámetros N , n , p
Función de cuantía.
  La función de cuantía de una distribución Hipergeométrica hará corresponder a cada valor de la variable X (x = 0,1,2, . . . n) la probabilidad del suceso "obtener x resultadosdel tipo A ", y (n-x) resultados del tipo no A en las n pruebas realizadas de entre las N posibles.
Veamos :
                                      Hay un total de  formas distintas de obtener
x resultados del tipo A y n-x del tipo  , 
si partimos de una población formada por Np elementos del tipo A y Nq elementos del tipo 

                  Por otro lado si realizamos n pruebas o extraccioneshay un total de
                                                 posibles muestras ( grupos de n elementos)
aplicando la regla de Laplace tendríamos
                               
que para valores de X comprendidos entre el conjunto de enteros 0,1,…. .n será la expresión de la función de cuantía de una distribución , Hipergeométrica de parámetros N,n,p .
Media y varianza.
    Considerando que una...