Valor Propi De Cauchy

6.4

Valor principal de Cauchy

Ja hem vist que les integrals doblement impròpies del tipus



b
a

f ( x) dx amb f discontínua a c  (a, b)



o




g ( x) dx

són, enrealitat, sumes de dues integrals impròpies




b

f ( x) dx  lim 0 

a






c 
a
0

g ( x) dx  lim a     g
a



 lim 0 

f

b
c  

f

b limb     g
0

és a dir, les integrals són convergents si els dos límits sumats existeixen separadament (per
això les hem anomenat doblement impròpies).
Es pot donar el cas que els límits noexisteixin separadament (i, per tant, les integrals no són
convergents) però que existeixin els límits combinats
c 

lim 0   
a


f 

b
c 

f



0
A
A
lim A    g   g   lim A    g
 A

0
A



,



Aquests límits, si existeixen, s’anomenen valor principal (de Cauchy) de

b
a

f i de






g

respectivament, i esdenoten
b

VP  f

, VP 

a




g

Evidentment, si les integrals existeixen com a doblement impròpies, coincideixen amb els
corresponents valors principals. Però pot succeir queexisteixin els VP, però no les integrals
(doblement) impròpies.
Exemples:
a)

b)

dx
és doblement impròpia ja que l’integrand té una discontinuitat infinita a
2 x
l’origen. Com a integralimpròpia no és convergent ja que les integrals impròpies
3 dx
0 dx
i
 2 x 0 x són separadament divergents. No obstant això, existeix el VP :
3 dx
3 dx 
3
  dx
 lim 0   

VP 
lim 0  ln   ln 2  ln 3  ln    ln
 x
2 x
2 x
2







3




VP 

0

xe x dx tampoc és convergent ja que ni  xe x dx , ni 
2

2







02

xe x dx , ho són. En canvi,

A

A
2
2
1 2 1 2 
1 2 
xe x dx  lim A   xe x dx  lim A   e x   lim A   e A  e A   0
A
2
2

2
 A

A
c 
b
 , lim...