Valoracion

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VALORACIÓN DE OPCIONES UTILIZANDO EL MODELO DE DIFUSIÓN CON SALTOS DE MERTON.

Dentro del comportamiento de los mercados financieros se observa que al realizar seguimiento a las series de los precios, en algunos casos estos presentan grandes diferencias entre dos observaciones continuas desvirtuando la aseveración respecto a que el proceso estocástico de precios es asintóticamente un procesocontinuo cuyas trayectorias son también continuas. Dichos cambios son llamados “saltos” los cuales son consecuencia de divulgación de información esencial acerca del valor analizado y por lo tanto generan un movimiento brusco en los precios.

En el año 1973 aparece la teoría Black-Sholes, la cual valora opciones basada en los siguientes supuestos: a) El interés a corto plazo es conocido yconstante a través del tiempo, b) Dirigida a opciones europeas, c) No existen costos de transacción e impuestos, d) No se pagan dividendos durante la vida de la opción, e) El activo persigue un movimiento geométrico browniano durante todo el tiempo, alcanzando un distribución log-normal en dos puntos del tiempo.
Sin embargo, el comportamiento de las opciones demuestra que no siguen una tendenciaclara, por el contrario generalmente se observan saltos en muchos puntos. Para valorar opciones a través del presente método es necesario que el subyacente cumpla con la ecuación diferencial estocástica:

Este proceso es conocido como movimiento browniano geométrico, el cual asume los siguientes supuestos: a) Los cambios en el precio de los activos son estacionarios, por lo que lascaracterísticas del proceso (v.g. tendencia y volatilidad) no cambian con el tiempo;
b) Los cambios en el precio de los activos son independientes, por lo que no existe correlación con cambios anteriores, c) Los cambios en el precio de los activos son continuos, sin saltos, d) Los cambios en el precio de los activos tienen una distribución normal [N~(0,t)], por lo que la gran mayoría de éstos es pequeño omarginal, mientras que los cambios extremos suceden con muy baja frecuencia.

Continuando el valor de la opción sobre el activo subyacente es:

A partir de lo anterior es necesario utilizar la fórmula del lema de Ito definida así:

Aplicando lo anterior la expresión es la siguiente:

Para establecer la fórmula de Black- Sholes es fundamental elaborar una estrategia autofinanciada que logrecubrir el riesgo de la opción a la fecha del ejercicio:

Años después se cuestiona el supuesto de normalidad de los rendimientos financieros que introduce el movimiento geométrico browniano dentro de las variaciones de los precios de los activos. Respecto a esto, Merton (1976) deriva una fórmula de valoración de opciones
planteando que los precios del activo son generados por una mezcla dedos procesos, uno continuo y otro discontinuo

1. Proceso Continuo, basado en los fundamentos de Black y Scholes (1973), asumiendo un movimiento geométrico browniano. Este proceso, incluye la tendencia, que representaría el término esperado, anticipado del componente continuo, y un término no anticipado, modelado a través del proceso de Wiener.

2. Proceso Discontinuo, incluye untérmino de salto, de naturaleza discreta, no anticipada, modelado como un proceso Poisson. El término mencionado asume diferente valores de acuerdo que el precio del stock “salte o no salte”. A través del presente proceso se tiene en cuenta los cambios anormales en el precio que causan un efecto no marginal en el mismo.

La parte no anticipada en los dos procesos debe formar una martingala con elobjetivo de cumplir la hipótesis de general de mercado eficiente de Fama (1970) y Samuelson (1965).

Referente al salto Poisson, este implica que debido a la llegada de información sobre el activo, la cual debe ser independiente e idénticamente distribuida induce a que ocurra un evento Poisson de la siguiente manera:

* Probabilidad que no ocurra el evento en el periodo determinado:...
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