valores vectores propios

Valores y vectores propios de una matriz

Juan-Miguel Gracia

Valores propios

Polinomio caracter´
ıstico

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´n de matrices
o

´
Indice

1

Valores propios

2

Polinomio caracter´
ıstico

3

Independencia lineal

4

Valores propios simples

5

Diagonalizaci´n de matrices
o

Valores y vectorespropios de una matriz
2 / 28

Valores propios

Polinomio caracter´
ıstico

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´n de matrices
o

Valores y vectores propios

Definiciones.- Dada una matriz cuadrada A de orden 3 se dice que el n´mero
u
λ0 es un valor propio de A si existe un vector columna tridimensional c no nulo
t.q.
Ac = λ0 c.
El vector c se llamavector propio de A asociado al valor propio λ0 .
Otras terminolog´ equivalentes
ıas
λ0
valor propio
autovalor
valor caracter´
ıstico
eigenvalor

c
vector propio
autovector
vector caracter´
ıstico
eigenvector

Valores y vectores propios de una matriz
4 / 28

Polinomio caracter´
ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´nde matrices
o

M´todo para hallar valores y vectores propios, 1
e

Por definici´n, un vector propio c debe ser un vector columna distinto de
o
 
0
0 =  0 .
0
Buscamos λ0 y c tales que
λ0 c = Ac
Esta ecuaci´n es equivalente a λ0 I3 c = Ac,
o
3:

1 0
I3 =  0 1
0 0

siendo I3 la matriz unidad de orden

0
0 .
1

El vector c = 0 satisface λ 0 = A0 cualquiera que seael n´mero λ. Esta
u
situaci´n no interesa, pues cualquier n´mero ser´ valor propio de A.
o
u
ıa

Valores y vectores propios de una matriz
6 / 28

Polinomio caracter´
ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´n de matrices
o

M´todo para hallar valores y vectores propios, 4 2
e

La ecuaci´n
o
λ0 I3 c = Ac
es equivalente a(λ0 I3 − A) c = 0
Si c ha de ser distinto de cero, entonces necesariamente el determinante
|λ0 I3 − A|
tiene que ser igual a 0. Una posible manera de hallar el λ0 que buscamos es
construir el polinomio en λ
p(λ) := |λ I3 − A|

(1)

El polinomio p(λ) en la variable λ es de grado 3 y se llama el polinomio
caracter´
ıstico de A.

Valores y vectores propios de una matriz
7 / 28Polinomio caracter´
ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´n de matrices
o

M´todo para hallar valores y vectores propios, 5 3
e

Debemos resolver la ecuaci´n en la inc´gnita λ
o
o
p(λ) := |λ I3 − A| = 0.

(2)

A continuaci´n si λ0 es una ra´ de esta ecuaci´n, se resuelve el sistema
o
ız
o
homog´neo indeterminado
e

 
c1
0
(λ0 I3 − A)  c2  =  0 
(3)
c3
0


c1
en las inc´gnitas c1 , c2 , c3 . Una soluci´n c =  c2  de (3) con no todas las
o
o
c3
componentes c1 , c2 , c3 nulas, proporciona uno de los vectores buscados.

Valores y vectores propios de una matriz
8 / 28

Valores propios

B.

Polinomio caracter´
ıstico

Independencia lineal

Valores propios simplesDiagonalizaci´n de matrices
o

Ejemplo de c´lculo de un valor y un vector propio, 1
a

Sea la matriz


1
A = 3
2

−1
2
1


4
−1 
−1

(4)

Vamos a hallar un valor propio y un vector propio asociado. Es preciso resolver
la ecuaci´n en λ
o
|λ I − A| =

λ−1
−3
−2

1
λ−2
−1

−4
1
= λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0
λ+1

(5)

Valores y vectores propios de una matriz
9 / 28Valores propios

B.

Polinomio caracter´
ıstico

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´n de matrices
o

Ejemplo de c´lculo de un valor y un vector propio, 2
a

Por la regla de

Ruffini

encontramos que λ0 = 1 es una ra´ de (5):
ız

13 − 2 · 12 − 5 · 1 + 6 = 1 − 2 − 5 + 6 = 0


c1
Para encontrar un vector propio c =  c2  asociado a este λ0 =...