Valores y vectores

6) ¿Cuáles son los valores propios de una matriz triangular?
Propiedades de valores y vectores propios:
1. T. De Hamilton-Cayley: Si P es el polinomio característico de A, P(A)=0.
2. La suma de los n valores propios de una matriz es igual a su traza.
3. Los valores propios de una matriz coinciden con los de su traspuesta.
4. El producto de los n valores propios de una matriz es igual a sudeterminante.
5. Si ti son los valores propios de A, ti
n son los valores propios de An. Además A y An tienen los
mismos vectores propios.
6. n vectores propios distintos correspondientes a n valores propios distintos de orden de
multiplicidad uno, constituyen una base del espacio vectorial donde está definida la matriz A.
7. Dada una matriz simétrica de coeficientes reales se verifica que susvalores propios son números
reales y que los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.
8. Los vectores propios de una matriz y de su traspuesta, si corresponden a valores propios distintos,
son ortogonales.
9. Si un valor propio para una matriz es un número complejo, se verifica que su complejo
conjugado es también un valor propio de la matriz.
10. Dos matricessemejantes tienen la misma ecuación característica y consecuentemente los mismos
valores propios con el mismo grado de multiplicidad.
11. Si A y B son dos matrices semejantes mediante la matriz de paso P y x es un vector propio de A
asociado a t, entonces Px es un vector propio de B asociado a t.
12. Una matriz triangular tiene como valores propios los elementos de la diagonal principal.
13.El conjunto de vectores propios asociados a un determinado valor propio constituye un espacio
vectorial cuya dimensión es mayor o igual que 1 y menor o igual que el orden de multiplicidad
del valor propio.
14. Sea p(x) un polinomio de grado n, sea t un valor propio de A y v un vector propio asociado a A,
entonces p(t) es un valor propio asociado a p(A) con el mismo vector propio.
15. Avalores propios distintos le corresponden vectores propios linealmente independientes.

7) De un ejemplo de obtención de valores y vectores caracteristicos:
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz A = 4 -5
2 -3
Solución: La ecuación característica queda:
det(A - kI) = det 4 - k -5
2 -3 - k = 0
(4-l )(-3-l ) +10 = 2 -
- 2 = 0
factorizando:
( +1)( -2 ) = 0
con lo cual obtenemos dos valores propios:
1 = -1,l 2 = 2
buscamos ahora los correspondientes vectores propios:
para l 1 = -1: (a - k1I)x = 5 -5 [x1]= 0
2 -2 [x2]= 0
el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones
de la forma x=[x1, x1]t. Así, porejemplo x=[1 1]t es un
vector propio correspondiente a 1 = -1.
para l 2 = 2:
(a - k1I)x = 2 -5 x1=0
2 -5 x2=0
nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de
soluciones de la forma x=[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo
x=[5 2]t es un vector propio correspondiente a l 2 =
2.

Ejemplo de matriz sin valores propios reales
Un ejemplo de matriz sin valores propiosreales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

cuyo polinomio característico es − λ2 − 1 y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.
Ejemplo
Considérese la matriz

que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando elpolinomio característico:

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

de donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.

8) ¿En que se aplican los...