Variable Aleatoria Bidimensional w

1.1 Variable Aleatoria Bidimensional


Cuando el resultado de un experimento aleatorio se traduce en una única observación, tenemos una variable aleatoria unidimensional. Si el resultado del experimento se materializa en dos observaciones simultaneas, por ejemplo, el peso y la altura de un colectivo de individuos, estamos ante una variable aleatoria bidimensional (X, Y ).

Expresadoformalmente, partimos de un espacio probabilístico (E, P) y dos variables aleatorias X e Y definidas en él. El vector aleatorio cuyas componentes son X e Y, se denomina variable aleatoria bidimensional (X, Y). Este vector aleatorio tendrá un campo de variación y una distribución de probabilidad, que llamaremos conjunta. Por otra parte, tanto X como Y son v.a. unidimensionales, y tendrán un campo de variacióny una distribución de probabilidad que llamaremos marginales.

De nuevo, lo que se pretende es sustituir el álgebra de sucesos por el álgebra de números reales y, otra vez, el concepto relevante es el de sucesos generados por variables aleatorias. Dadas dos variables aleatorias X e Y podemos definir los sucesos conjuntos
{X ≤ x, Y ≤ y} como: {X ≤ x, Y ≤ y} ≡ {X ≤ x}{Y ≤ y}

De lateoría sabemos que el conocimiento de las probabilidades de los dos sucesos del miembro de la izquierda no basta para calcular la probabilidad de su intersección. Solo en el caso en que las dos variables unidimensionales X e Y representen resultados independientes la probabilidad de la intersección será el producto de las probabilidades.
En general, por tanto, la máxima información sobre una variablebidimensional no está en las distribuciones marginales sino que deberemos conocer la distribución conjunta. En el caso de variables unidimensionales los sucesos se convierten en intervalos de la recta real y sus probabilidades asociadas pueden calcularse integrando la función de densidad sobre dicho intervalo. Ahora, los sucesos conjuntos se convierten en subconjuntos de R². La probabilidadasociada a un suceso de este tipo puede calcularse también, como veremos, realizando la correspondiente integración en el plano.

1.2 Definición de variable aleatoria bidimensional
Una variable aleatoria bidimensional (X, Y) es una aplicación del espacio muestral
en R² = RxR

Ω XxY RxR
ω (X (ω) , Y(ω))

Por lo tanto, cada componente de la variable aleatoria bidimensional es una variable aleatoria unidimensional.

Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces, al que tenemos asociado el siguiente espacio muestral:

Ω = {(c, c, c), (c, c, +), (c,+, c), (+, c, c), (c,+, +), (+, c, +), (+,+, c), (+,+, +)}

Se define la v.a. bidimensional Z = (X, Y), dondeX (ω) ="Número de caras en ω”, e Y (ω) ="Diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el número de cruces en ω”. Entonces:

Z (+,+, +) = (0, 3)
Z(c,+, +) = Z (+, c, +) = Z (+,+, c) = (1, 1)
Z(c, c, +) = Z(c,+, c) = Z (+, c, c) = (2, 1)Z(c, c, c) = (3, 3)

1.3 Variables aleatorias discretas bidimensionales
Una variable aleatoria bidimensional es discreta cuando las dos variables que la componen siguen una distribución discreta. También se dice que una variable aleatoria bidimensional (X1, X2) es discreta si su función de distribución es a saltos (es decir, toma un numero finito onumerable de valores)
Ejemplo: Se lanza un par de dado legales y distinguibles y se define X: la suma de los dados y Y: el producto de los dos dados.

1.4 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta bidimensional
Es la función que asigna probabilidades a cada uno de los valores de la variable aleatoria discreta.
Consideremos una v.a. discreta (X,Y), que toma los valores {x1,...