Variables Aleatorias Bidimensiomal

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD 
Si el vector aleatorio asume s´olo una cantidad numerable de valores, en-tonces cada componente es una variable aleatoria discreta, sucediendo que lafunci´on deprobabilidad de una componente coincide con la suma de la funci´onde probabilidad conjunta sobre la otra componente. Por ejemplo:
P ξ1(k1) =k2P ξ(k1k2)
.
Cuando adem´as las componentes sonvariables aleatorias independientes ento

 
“libroult”2001/8/30page 167
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CAP ´ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 
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Soluci´ on 
1.De acuerdo con los datos del problema,la funci´on de densidad de lavariable
η
es de la forma:
f 
η
(
y
) =

1
a
, si 0
≤
y
≤
100
2
a
, si 100
< y
≤
200Adem´as, debe verificarse:
 
1000
1
a
·
∂y
+
 
200100
2
a·
∂y
= 1
,
Efectuando los c´alculos correspondientes se obtiene:
f 
η
(
y
) =

1
/
300 si 0
≤
y
≤
1002
/
300 si 100
< y
≤
200y, por lo tanto, ya que
ξ
y
η
son variablesaleatorias independientes,se tiene:
f 
ξ,η
(
x,y
) =
f 
ξ
(
x
)
·
f 
η
(
y
)=

1300
x
2000
=
x
600000
si 0
≤
y
≤
100
,
0
≤
x
≤
200
,
2300
x
2000
=
x
300000si 100
< y
≤
200
,
0
< x
≤
200
.
Es decir, la distribuci´on marginal es
x/
(3
·
10
5
) en los frutales y
x/
(6
·
10
5
) en las hortalizas.2.En primer lugar calculemos laprobabilidad de que tarde menos de
t
segundos en coger al intruso, es decir, la funci´on de distribuci´on dela variable
T 
en el punto
t
. Dado que para llegar a un punto (
x,y
)el perro deberecorrer
x
+
y
metros, entonces dicha probabilidad esequivalente a la de que el intruso se encuentre en un punto (
x,y
)que verifique (
x
+
y
)
/
10
≤
t
. Hay que distinguir varioscasos:Si 0
≤
t
≤
10:
F 
T 
(
t
) =
 
10
t
0
 
10
t
−
y
0
x
6
·
10
5
∂x∂y
=
t
3
3600Si 10
< t
≤
20:
F 
T 
(
t
) =
 
1000
 
10
t
−
y
0
x
6
·
10
5...