Variables Aleatorias Continuas

Modelo de la curva normal
Conceptos propios
se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que conmás frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana deGauss.
Características y propiedades
1. Es simétrica respecto de su media, μ;
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x =μ − σ y x = μ + σ.
4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución seencuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
5. Si X ~ N(μ, σ2) y a y b son números reales, entonces (aX + b)~ N(aμ+b, a2σ2).
6. Si X ~ N(μx, σx2) e Y ~ N(μy, σy2) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
1. Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μx + μy, σx2 +σy2) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
2. Su diferencia estánormalmente distribuida con .
Aplicación y usos
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que...