Variables aleatorias y funcion de probabilidad

Variables aleatorias y función de probabilidad

Definición de variable

Una variable es un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal o referencial de la variable, universo o variar de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto{1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,3,5,7,9,11,13. En otras palabras x puede reemplazarse por cualquier entero positivo impar menor que 14. Por esta razón, a menudo se dice que una variable es un reemplazo de cualquier elemento de su universo.

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valorcualquiera (siempre dentro de su universo). Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por razones o condiciones de pertenencia, al universo que les corresponde (en estos casos, el de una variable es una constante. También puede considerarse a las constantes como caso particular de variables, con un universo unitario (con un soloelemento), ya que sólo pueden tener un valor, y no pueden modificarlo.

Variable aleatoria discreta

Se dice que una variable aleatoria es discreta si toma un numero finito o a lo más numerable de valores:

[pic]

En este caso la ley de la variable aleatoria [pic] es la ley de probabilidad sobre el
Conjunto de los valores posibles de [pic] que asocia la probabilidad
 [pic] alsingleton [pic].
En la práctica el conjunto de los valores que puede tomar [pic] es [pic] o una parte de[pic]. 
Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:
1. Determinar el conjunto de los valores que puede tomar[pic].
2. Calcular [pic] para cada uno de estos valores[pic].

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Consideremos una v.a. discreta X, que toma losvalores  x1, x2,..., xn. Supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que

p(X=x1) = p1, p(X=x2) = p2, p(X=x3) = p3,..., p(X=x1) = pn,
en general p(X=xi) = pi
La función de probabilidad  f(x)  de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi.
[pic]

Variable aleatoria continúaUna variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta.

Función de densidad de una variable aleatoriacontinúa

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), ode manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:

[pic]

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

Función de distribución para variables continuas y discretas

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variablealeatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como:

F(x) ó Fx

Para estudiar la función de distribución distinguiremos entre el caso discreto y el caso continuo.

Caso discreto:

Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución:

F(x):R→ [1,0] que verifica F(x)=P[X ≤ X ] = ∑ xi < xPi

Caso...