Variables

C U A D R O
PROPIEDADES QUE SE DEBEN CUMPLIR: Axioma de Kolmogrov. Px(X) ≥ 0 ∑ Px(X) = 1

R E S U M E N

V A R I A B L E S

A L E A T O R I A S

• • •

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Función de distribución:
Fx [X] = PX (X)

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Función de distribución:
∞
−∞

FORMULA ALTERNATIVA DE LA VARIANZA

µ2 = E (X − µ)

2

=
2
∀X

(X − µ) PX (X) = V AR [X]x2 PX (X) − 2µ xPX + µ2 PX (X) = α2 −

2

Fx [X] =

fX (X) dx = 1

Siendo
∀X

(X − µ) PX (X) =

2 2µ2 + µ2 = α2 − µ2 = α2 − α1

ESPERANZA MATEMÁTICA

SUMA DE VARIANZAS EN V. ALEATORIAS DEPENDIENTES

α0 = E X 0 = α1 = E X 1 = α2 = E X 2 =
∀X

X 0 PX (X) = 1 X 1 PX (X) = µ X 2 PX (X)

α0 = E X 0 = α1 = E X 1 = α2 = E X
2

∞
−∞

X 0 fX (X) dx = X 1 fX (X) dx = µ X 2 fX(X) dx

∞
−∞

fX (X) dx = 1 V AR [X + Y ] = V AR [X] + V AR [Y ] + 2COV (X, Y ) V AR [X − Y ] = V AR [X] − V AR [Y ] − 2COV (X, Y )

∞ ∞

∀X

−∞

=

∀X

−∞

MOMENTOS CENTRALES
µr = E [(X − µ) ]
r

DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEV
2

P (X − µ)

2

k2 σ2
2

E (X − µ) k2 σ2 = σ2

=

1 k2

Siendo E (X − µ)
µ0 = E (X − µ)
0

=
1

µ1 = E (X − µ)
∀X

=

∀X

(X− µ) PX (X) = 1 (X − µ) PX (X) =
1

0

xPX (X) − µ

PX (X) = 0
∀X

∀X

∀X

xPX (X) −

µPX (X) =
∀X

µ0 = E (X − µ)

0

= = =

∞
−∞

µ1 = E (X − µ) µ−µ=0

1

∞

(X − µ) fX (X) dx = 1 (X − µ) fX (X) dx =
2 1

0

∞
−∞

xfX dx−

∞
−∞

COTA SUPERIOR
µfX (X) dx =

COTA INFERIOR
1 k2

−∞

µ2 = E (X − µ)

2

=
∀X

(X − µ) PX (X) = V AR (X)

2µ2 = E (X − µ)

2

∞
−∞

(X − µ) fX (X) dx = V AR [X]

P [|X − µ|

kσ]

1 k2

P [|X − µ| < kσ]

1−

José Humberto González Rodríguez

Administració i Direcció dʼEmpreses (UB)

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CUADRO DE TRANSFORMACIONES LINEALES:
VARIABLE ALEATORIA TRANSFORMACIÓN X VALOR ESPERADO VARIANZADESVIACIÓN ESTÁNDAR

E [X] = µX

2 V AR [X] = σX

DS [X] = σX

CAMBIO DE ORIGEN

y=x±a

E [Y ] = E [X] ± a

V AR [Y ] = V AR [X]

DS [Y ] = DS [X] = σX

Le afectan los cambios de origen.

No le afectan los cambios de origen.

No le afectan los cambios de origen.

CAMBIO DE ESCALA

y = bx

E [Y ] = bE [X]

V AR [Y ] = b2 V AR [X]

DS [Y ] = |b| DS [X]

Le afectan loscambios de escala.

Le afectan los cambios de escala.

Le afectan los cambios de escala.

TRANSFORMACIÓN LINEAL

y = a ± bx

E [Y ] = a ± bE [X]

V AR [Y ] = b2 V AR [X]

DS [Y ] = |b| DS [X]

José Humberto González Rodríguez

Administració i Direcció dʼEmpreses (UB)

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VARIABLES ALEATORIASDISCRETAS DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI (DICOTOMICA) X ~ D (p) OBJETIVO: El resultado de un experimento aleatorio con dos posibles resultados (o se verifica o no se verifica el suceso). Solo se necesita conocer la probabilidad de éxito. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL X ~ B (p, n) OBJETIVO: Obtener el número de éxitos o fracasos que se dan en un experimento aleatorio en n variaciones muestrales. Donde prepresenta el número de éxitos y n el número de mediciones muestrales. A TENER EN CUENTA: DISTRIBUCIÓN DE POISSON X ~ P (λ) OBJETIVO: Xi representa el número de éxitos por unidad de tiempo, espacio, àrea, etc. Podría considerarse como el límite de la binomial con n muy grande y p muy pequeña. PROPIEDADES: 1. Reproductiva DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA X ~ G (p) R ~ G (p) OBJETIVO: Determinar cuantas realizacionesmuestrales han de suceder hasta que se verifica el número A. La realización muestral es la incógnita (r).

PROPIEDADES: 1. Si verifica A, el valor será: X = 1; p = éxito 2. Si no verifica A, el valor será: X = 0; q = 1 - p (fracaso).

n x

=

n! x! (n − x)!

X1 → P (λ1 ) X2 → P (λ2 ) S´ y solo s´ la unidad temporal es la misma. ı ı X = X1 + X2 =⇒ P (λ1 + λ2 )

2.

Se puede...