Variacion De Parametro

Variación de parámetro
Hugo Lombardo Flores 12/03/2011

Contents

1. Introducción. 2. Método de integración: variación de parámetro. 3. Ejemplos. 4. Conclusión. 5. Bibliograa.
1 Introducción.

Encontrar soluciónes a las ecuaciones diferenciales resulta siempre conocer diversos métodos de integración de estas mismas, aunque no siempre es integración de la ecuación diferencial en si, tales el caso de series de potencia, donde la ecuación diferencial se convierte a una ecuación de sumas para ser integradas despues, sin embargo dentro de los métodos de integración para una ecuación lineal no homogenea de orden n existe el de variación de parámetro, que es tema que se desarrollara a continuación.
2 Método de integración: variación de parámetro.

El método de variación de parámetroconsiste en suponer una solucion yp = u(x)y1 (x) de la ecuación, donde la idea es encontrar una función u(x) que cumpla la condición. Este método es aplicable en ecuaciones lineales de orden n. Analicemos la ecuacion diferencial de segundo orden
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = f (x)

en su forma estandar sera
y + P (x)y + Q(x)y = g(x)

1

donde: P (x) = 1 , Q(x) = 0 , g(x) = son continuasen un a2 (x) a2 (x) a2 (x) intervalo abierto comun I. continuando con la suposición yp = u(x)y1 (x) se busca una solucion de la forma yp = u1 (x)y1 (x)+u1 (x)y2 (x) donde u1 y u2 son el parámetro variable de la solucion particular y y1 (x) y y2 (x) son dos soluciones linearmente independientes de la ecuación homogénea correspondiente esta es yh = c1 y1 (x) + c2 y2 (x). Esta suposición es la mismaque yh = c1 y1 (x), sin embargo aqui c1 se sutituye por un parámetro variable u1 . Entonces continuando con el método, buscamos estos parámetros u1 y u2 . Para encontrar estos parámetros tendremos que hacer uso del Wronskiano, este se dene como el determinante de las funciones solución de la ecuacón diferencial y se representa por:
W = det W1 = det 0 y2 f (x) y 2 y1 y1 y2 y2 W2 = det y1 y1 0 f(x)

a (x)

a (x)

f (x)

De esta manera obtenemos los Wronskianos que nos seran utiles para encontrar los parámetros u1 y u2 de la siguiente manera:
u1= W1 W u2= W2 W

De ahi se integran ambos parámetros para obtener u1 y u2 respectivamente que serán sustituidos en la solucion particular yp = u1 (x)y1 (x) + u1 (x)y2 (x). Y la solución general estará dada por:
y(x) = yh (x) + yp (x) =c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + u1 (x)y1 (x) + u1 (x)y2 (x)
3 Ejemplos.

1.

y + y = sec x
Resolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y + y = 0 Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.
m2 + 1 = 0 m2 = −1 √ = −1 ; m1,2 = ±i

m1,2

m1,2 = α ± βi ; donde α = 0 β = 1

2

yh = c1 cos x + c2 sin x

Ahora identicamos y1 = cosx y y2 = senx y lasderivamos.
y1 = cos x y2 = sin x y
1

= − sin x y2 = cos x

A continuacion calculamos el Wronskiano:
W = y1 y1 y2 cos x sin x = = [(cos x)(cos x)] − [(sin x)(− sin x)] = y2 − sin x cos x cos2 x + sin2 x = 1 0 y2 0 sin x = = [(0)(cos x)] − [(sin x)(sec x)] = f (x) y2 sec x cos x sin − sin x sec x = − cos x = − tan x x y1 y1 0 cos x 0 = = [(cos x)(sec x) − (0)(− sin x)] = f (x) − sin x sec xcos x cos x sec x = cos x = 1 ´ = − tan x = − tan x ; u1 = − tan xdx = −[−ln(cos x)] = ln(cos x) 1 ´ u2 = W2 = 1 = 1; u2 = dx = x W 1 yp = u1 y1 + u2 y2 yp = ln(cos x) cos x + x sin x y(x) = yh + yp y(x) = c1 cos x + c2 sin xi + cos xln(cos x) + x sin x

W1 =

W2 =

u1 =

W1 W

Aplicable tambien en la ecuación de Cauchy-Euler 2.

xy − 4y = x4
Solución propuesta.
y = xm y = mxm−1 y =(m − 1)mxm−2

Hacemos la ecuacion de la forma de Cauchy Euler, para esto la multiplicamos por x. 3

x2 y − 4xy = x5

Resolvemos la parte homogenea.
yh = x2 y − 4xy = 0

Sustituimos
x2 [(m − 1)mxm−2 ] − 4x(mxm−1 ) = 0 xm (m2 − m − 4m) = 0 m(m − 5) = 0 m1 = 0 m2 = 5 yh = c1 x0 + c2 x5 yh = c1 + c2 x5

Resolvemos por variacion de parámetros. Para esto tenemos que escribir la ecuacion...