Variacion De Parametros
Páginas: 2 (286 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2012
Método de Variación de Parámetros
El objetivo del método de variación de parámetros es encontrar una función y = y(t) que
cumpla la ecuación diferencialyn+an-1tyn-1+…+a1ty'+a0ty=ft
donde f (t), a0(t),..., an−1 (t) son funciones continuas en un intervalo de IR.
En otras palabras, se trata de encontrar una soluciónparticular de la ecuación diferencial (1), que es una ecuación diferencial lineal de orden n, no homogénea. Obsérvese que no se supone que a0,…, an-1 sean constantes.Ante todo hay que decir que cuando se puede usar el método de los coeficientes indeterminados para hallar una solución particular de (1) se debe usar este
método,siendo el método de variación de parámetros la opción más costosa con diferencia.
El método de variación de parámetros requiere en primer lugar resolver la ecuaciónhomogénea asociada a (1); es decir:
yn+an-1y(n-1)+…+a1y'+a0y=0
Sea:
ynt=c1y1t+…+cnyn(t)
la solución de (2), siendo C1,. . ., Cn constantes reales.
Una formamatricial de escribir (3) es:
ynt=y1t…yntc1cn
La solución de la homogénea, y, se puede escribir de forma muy compacta de la siguiente manera:
ynt=YtC,C∈IRn
en donde se ha definido
Y (t)= (Y1t…Yn(t))
El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función de la forma
y (t) = Y (t) F(t) (7) que cumple la ecuación diferencial no homogénea (1), donde F(t) es un vector columna de n funciones por determinar. Obsérvese que (7) se obtiene tras“convertir” el vector constante C en (5) en el campo vectorial F. De aquí el nombre de método de variación de parámetros. Este método se basa en el siguiente teorema:
El objetivo del método de variación de parámetros es encontrar una función y = y(t) que
cumpla la ecuación diferencialyn+an-1tyn-1+…+a1ty'+a0ty=ft
donde f (t), a0(t),..., an−1 (t) son funciones continuas en un intervalo de IR.
En otras palabras, se trata de encontrar una soluciónparticular de la ecuación diferencial (1), que es una ecuación diferencial lineal de orden n, no homogénea. Obsérvese que no se supone que a0,…, an-1 sean constantes.Ante todo hay que decir que cuando se puede usar el método de los coeficientes indeterminados para hallar una solución particular de (1) se debe usar este
método,siendo el método de variación de parámetros la opción más costosa con diferencia.
El método de variación de parámetros requiere en primer lugar resolver la ecuaciónhomogénea asociada a (1); es decir:
yn+an-1y(n-1)+…+a1y'+a0y=0
Sea:
ynt=c1y1t+…+cnyn(t)
la solución de (2), siendo C1,. . ., Cn constantes reales.
Una formamatricial de escribir (3) es:
ynt=y1t…yntc1cn
La solución de la homogénea, y, se puede escribir de forma muy compacta de la siguiente manera:
ynt=YtC,C∈IRn
en donde se ha definido
Y (t)= (Y1t…Yn(t))
El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función de la forma
y (t) = Y (t) F(t) (7) que cumple la ecuación diferencial no homogénea (1), donde F(t) es un vector columna de n funciones por determinar. Obsérvese que (7) se obtiene tras“convertir” el vector constante C en (5) en el campo vectorial F. De aquí el nombre de método de variación de parámetros. Este método se basa en el siguiente teorema:
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