Variacion de parametros

VARIACIÓN DE PARAMETROS
Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea:
{draw:frame}
empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones:
{draw:frame} o{draw:frame}
que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuaciónlineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manerasiguiente:
{draw:frame}
Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.
Para la ecuación {draw:frame} , en primer lugar, se deben calcular {draw:frame} y {draw:frame} para sustituir{draw:frame} en (1). Según la regla del producto se obtiene:
{draw:frame}
Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstane, en esta parte se puedeaprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, supongaque buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque correcto (esto es, el quesabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos {draw:frame} y {draw:frame} que aparecen en (4) se cancelen unos con otros:
{draw:frame}
Entonces podemoscalcular {draw:frame} directamente de
{draw:frame}
El resultado, según la regla del producto, es:
{draw:frame}
Cuando se sustituye este resultado y(3) en la ecuación dada (1), se llega a:{draw:frame}
En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda:
{draw:frame}
Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben satisfacer (6). Además, se ha supuesto que...