variacion de parametros

|Método de variación de parámetros.
Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea:

empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones:
o
que corresponden ados soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separableque requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente:

Aquí se reemplaza y pordos funciones desconocidas u y v.
Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene:

Al calcular la siguiente derivada serequiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstane, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad enla elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4) unos conotros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos y que aparecen en (4) secancelen unos con otros:

Entonces podemos calcular directamente de

El resultado, según la regla del producto, es:

Cuando se sustituye este resultado y(3) en la ecuación dada (1), se llegaa:

En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda:

Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas satisfacenla ecuación (5). Así tenemos los dos requisitos:

que son precisamente dos ecuaciones lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y...