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VARIACION DE PARAMETROS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO.

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES PLANTEN ARAGON.

INGENIERIA MECANICA.

TRABAJO FINAL.
MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES.
TEMAS:
VARIACION DE PARAMETROS.
CAUCHY-EULER.
TRANSFORMADA DE LAPLACE.

ALUMNO: GONZALEZ CASTILLO LUIS EDUARDO

PROFESOR: RIVERA CORTES SMYRNA VANESSA.

GONZALEZ CASTILLO LUIS EDUARDOVARIACION DE PARAMETROS

TEMA. Variación de parámetros.
Método.
El proceso se lleva a cabo en los coeficientes indeterminados es en realidad muy correcto,
(contiene solo técnicas de algebra elemental y derivación), el método se aplica en general a una
clase pequeña de problemas.
Por ejemplo, no podría aplicarse el caso de la ecuación, aparentemente sencilla.

y = tan x
Entonces convendrábuscar un método para determinar una integral particular que se aplique en
todos los casos (incluyendo los coeficientes variables), en los que la función complementaria es
conocida.
Este método es el de derivación de parámetros, que se estudiara a continuación.
Este método se desarrollara en conexión con la ecuación diferencial lineal general de un segundo
orden de coeficientes variables.

α0(X)

α1 (X)

+ α2 (X) y = Fx

Se supone que “y1 y y2” son soluciones lineales independientes de la ecuación homogénea
correspondientes

α0 (X)

α1 (X)

+ α2 (X) y = F0

Entonces la ecuación complementaria es:

c1 y1 (x) + c2 y2 (x)
Donde “y1 y y2” son soluciones linealmente independientes de le ecuación y “c1 y c2”, son
constantes arbitrarias. El procedimiento en el método devariación de parámetros es sustituir las
constantes arbitrarias “c1 y c2” de la función complementaria por las respectivas funciones
“v1 y v2” que serán determinadas de modo que la función resultante que está definida por:

v1(x) y1(x) + v2 (x) y2 (x)
Sea una integral particular de la ecuación (de aquí el nombre de variación de parámetros),
tenemos a nuestra disposición las dos funciones “v1 yv2” con las que se satisfacen la condición
única de que sea una solución, puesto que tenemos dos funciones pero solo una condición sobre
ellas, estamos entonces en libertad de imponer una segunda condición, previniendo que esta
segunda condición no viole la primera. A medida que prosigamos se verá cómo y cuándo imponer
esta condición adicional.
GONZALEZ CASTILLO LUIS EDUARDO

VARIACION DEPARAMETROS

Supondremos ahora una solución de la ecuación y escribimos:

yp (x)= v1 (x) y1 (x) + v2 (x) y2 (x)
al derivar se tiene:

y´p (x) = v1 (x) y´(x) + v2 (x) y´2 (x) + v´1 (x) y1 (x) + v´2 (x) y2 (x)
donde utilizamos primas para representar las derivadas. En este punto se impone la segunda
condición antes mencionada; simplificando y´p:

v´1 (x) y1 (x) y´1 (x) + v2 (x) y´2 (x) =0
Esta condición impuesta, se reduce a:

y´p (x)= v1 (x) y´1 (x) + v2 (x) y´2 (x)
Ahora al derivar se obtiene:

y´´p (x)= v1 (x) y´´1 (x) + v2 (x) y´´2 (x) + v´1 (x) y´(x) + v´(x) y´2 (x)
en este momento imponemos la condición básica de que sea una solución de la ecuación. Por lo
tanto, se sustituye por: “y, dy|dx” y “d²|dx²”, respectivamente, en la ecuación se obtiene la
identidad:

α0(x) [v1 (x) y´´1 (x)+ v2 (x) y´´ (x) + v1 (x) y´(x) + v´2 (x) y´2 (x)] +α1 (x) [v1 (x) y´1 (x)+ v2
(x) y´2 (x)] + α2 (x) [v1 (x) y1(x)+ v2 (x) y2 (x)] = F (x)
Esto se puede escribir de la forma:

v1 (x) [α0 (x) y´´1 (x) + α1 (x) y´(x) + α2 (x) y1 (x)] + v2 (x) [α0 (x) y´´2 (x) + α1 (x) y´2 (x) +
α2 (x) y2 (x)] + α0 (x) [v´1 (x) y´1 (x) + v´2 (x) y´2 (x)] = F (x)
Puesto que “y1 y y2”. Sonsoluciones de la ecuación diferencial homogénea correspondiente, las
expresiones de los primeros corchetes son idénticamente cero.
Esto deja solamente:
v´1 (x) y´1 (x) + v´2 (x)=

Esta igualdad es en realidad lo que exige la condición básica. Por lo tanto, las dos condiciones
impuestas exigen que las funciones “v1 y v2”, sean elegidas de modo que el sistema de ecuaciones

y´(x) v´1 (x) +...