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Métodos de integraciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) talque

,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[1]

.
Contenido [ocultar]
1 Integración directa
2 Método de integración por sustitución
2.1 Procedimiento práctico
2.2 De interés
3 Método de integración por partes
4 Integrales Trigonométricas
4.1 Integral que contiene potencias de senos y cosenos
4.1.1 Tendremos3 casos:
4.1.1.1 Cuando n es impar
4.1.1.2 Cuando m es impar
4.1.1.3 Cuando m y n son pares
4.1.2 Ejemplo #1
4.2 Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes
4.2.1 Tendremos 5 casos:
4.2.1.1 1. Cuando n es par
4.2.1.2 2. Cuando m es impar
4.2.1.3 3. La tangente tiene potencia par
4.2.1.4 4. La Secante tiene potencia impar
4.2.1.5 5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
5 Notas6 Enlaces


[editar] Integración directaEn ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo
Calcular laintegral .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integral .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .
No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa seríaln(|x|)

[editar] Método de integración por sustituciónEl método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente suprimitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

[editar] Procedimiento prácticoSupongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)
Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar loslímites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(límite inferior)

(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

[editar] De interésSupongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funcionestrigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser :

,

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)

por otra parte o

la integral queda después de dicha sustitución:

[editar] Método de integración por partesEl método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:


Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral)...