Varianza

3.2 distribuciones de varianza

MEDIA: La media o valor medio de una distribución de probabilidad se representa por  , y se define por:
[4.1]
En estas dos fórmulas f(x) es la función deprobabilidad y la función densidad de probabilidad respectivamente de la variable aleatoria X en consideración.
Conviene mencionar que la media  se conoce como esperanza matemática de X o, brevemente,esperanza de X, y se representa por E(X).
Ejemplo 10: Supóngase que la variable aleatoria X es el número que queda hacia arriba al lanzar un dado legal. La función de probabilidad correspondiente es paraX = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Por consiguiente
que quiere decir que 3.5 es el valor esperado, lo que significa que 3.5 es el valor central de la distribución. Obsérvese que no es necesario que el valoresperado sea un valor posible de la variable aleatoria. También se interpreta en el sentido de que en 10 ejecuciones del experimento, por ejemplo, se espera que la suma de los números obtenidos sea de(10)(3.5) = 35.

Fig. 8 Función de probabilidad correspondiente al ejemplo 4.10
Ejemplo 11: Determinar la media o valor esperado de la distribución cuya función densidad de probabilidad está por laregla de correspondencia:

Solución:

VARIANZA: La varianza de una distribución se representa mediante y se define por
[4.2]
donde f(X) representa a la función de probabilidad y a la funcióndensidad de probabilidad, respectivamente, de la variable aleatoria.
Claramente porque , para todo X, y , para todo X. A la raíz cuadrada positiva de la varianza la llamamos desviación estándar y sedenota 
En palabras, la varianza es una medida de dispersión o variabilidad que no tiene interpretación física ya que está en unidades cuadradas.
Si en las fórmulas anteriores desarrollamos elcuadrado del binomio y aplicamos propiedades de las sumatorias (integrales) se llega a una expresión más conveniente para realizar los cálculos

Ejemplo 4.12: Calcular la varianza para la función...