VARIANZA

VARIANZA Y DESIACIÓN TIPICA




Presentado por:
FELIPE ZÚÑIGA G
OSCAR PALOMEQUE
VALENTINA MANJARRES



Docente:
ROCIO DUARTE ANGARITA








CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
4TO SEMESTRE
BARRANQUILLA-COLOMBIA
2014
VARIANZA

En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como σ2) de una variablealeatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada enlas mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

Si tenemos unconjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:
s2n=1n∑i= 1n (Xi−X¯¯¯) 2 =(1n∑i=1nX2i)−X¯¯¯2
Siendo:
Xi: cada dato
n: El número de datos
X¯¯¯: la media aritmética de los datos

Variable aleatoria

Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E [X], se define su varianza, Var(X) (también representada como σ2X o, simplemente σ2), comoVar(X)=E[(X−μ)2].
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):
Var(X)=E [(X−μ)2]=E[(X2−2Xμ+μ2)]=E[X2]−2μE[X]+μ2=E[X2]−2μ2+μ2=E[X2]−μ2.
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza.
Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1< k ≤ 2.

Caso continuo

Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces
Var(X)=∫ (x−μ) 2f(x) dx,
Donde
μ=∫x f(x) dx,
Y las integrales están definidas sobre el rango de X.
Caso discreto
Si la variable aleatoria X es discreta con pesos x1 ↦ p1,..., xn ↦ pn y n es la cantidad total de datos, entonces tenemos:
Var(X)= (∑i=1npi⋅ (xi−μ)2)
Donde
μ= (∑i=1npi⋅xi) 

Distribuciónexponencial
La distribución exponencial de parámetro λ es una distribución continua con soporte en el intervalo [0,∞) y función de densidad
f(x)=λe−λx1[0,∞)(x),
Tiene media μ = λ−1. Por lo tanto, su varianza es:
∫∞0f(x)(x−μ)2dx=∫∞0λe−λx(x−λ−1)2dx=λ−2.
Es decir, σ2 = μ2.
Dado perfecto
Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 conprobabilidad igual a 1/6. El valor esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo tanto, su varianza es:
∑i=1616(i−3,5)2=16((−2,5)2+(−1,5)2+(−0,5)2+0,52+1,52+2,52)=16⋅17,50=3512≈2,92.
Propiedades de la varianza
Algunas propiedades de la varianza son:
V(X)≥0
V (aX+b)=a2V(X) siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es decir, V(b)=0V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y), donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
V (X−Y)=V(X)+V(Y)−2Cov(X,Y), donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
Varianza muestral
En muchas situaciones es preciso estimar la varianza de una población a partir de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazamiento (y1,…, yn) de n valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de la población departida, existen dos de uso corriente:
s2n=1n∑i=1n(yi−y¯)2=(1n∑i=1ny2i)−y¯2
y
s2=1n−1∑i=1n(yi−y¯)2=1n−1∑i=1ny2i−nn−1y¯2=∑ni=1y2i−ny¯2n−1
Cuando los datos están agrupados:
s2=∑ni=1fi (yi−y¯)2n−1=∑ni=1fiy2i−ny¯2n−1
A los dos (cuando está dividido por n y cuando lo está por n-1) se los denomina varianza muestral. Difieren ligeramente y, para valores grandes de n, la diferencia es irrelevante....