Variedades

FUNCIONES RACIONALES
 

 
Definición:  Si P(x)  y  Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
 
 
Ejemplos:

 
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.
 
Dominio
  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio dela función.
  Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.
 Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemoscalcular y = f(x).
2.Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.
  Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:

FUNCIONES POLINÓMICAS:
  Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio dedefinición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:
f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R
g(x)= 2x + 3;   D(g) = R
h(x)=½ ;   D(h) = R
FUNCIONES RACIONALES:
  Si la función es racional, esto es que su expresión esun cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1,x2,..., xn. Por ejemplo:
I)Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3  y   x2 = -3.
         Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

II)  Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.
     
        Por lo tanto D(f) = R.
FUNCIONES IRRACIONALES:
 Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par,para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:
I)    Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;            
                                x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1,+).
                                    
            Por lo tanto D(f) = [-1, +).

II)Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. 
                                                                                Por lo tanto D(g) = (-, -5] U [+5, +)...