Variedades

Variedades Diferenciables
Versi´n no Final 2008 (en proceso)
o

Sergio Plaza S.
8 de septiembre de 2008

´
Indice general
1. Variedades Diferenciables
1.1.

Variedades Diferenciables

1
............................

1

1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Aplicaciones Diferenciables en Variedades

29

2.1.Espacio Tangente y Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Formas Locales de Aplicaciones Diferenciables

53

3.1. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.

Submersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69

3.3.

Variedades Recubrimiento y Variedades Cuocientes . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4. Orientaci´n en Variedades
o

102

4.1.

Orientaci´n en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
o

4.2.

Variedades Orientables . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5. Transversalidad
5.1.

122

Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
i

ii
6. M´tricasRiemannianas
e

129

6.1. M´tricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
e
6.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7. Grupos de Lie

138

7.1. Aplicaciones Naturales en Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2. Acci´n de Grupos de Lie sobre Variedades . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 143
o
7.3. Variedades Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
e
7.4.

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8. Formas Diferenciables en variedades e Integraci´n
o

151

8.1. Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2. FormasDiferenciales en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3. k –formas, producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.4. Cambio de Variable y Formas Co–inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.5. Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.6. Integraci´n de Formas Diferenciales . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
o
8.7. Variedades con Borde y Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9. Teorema de Sard
9.1.

166

Conjuntos de Medida cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.2. Algunas Aplicaciones del Teorema de Sad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.Teor´ del Grado
ıa

178

10.1. Homotop´ eIsotop´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
ıas
ıas
10.2. Grado M´dulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
o
10.3. Grado Topol´gico de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
o
11.Funciones de Morse y Clasificaci´n de Variedades
o

192

11.1. Funciones de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.2. Niveles regulares y cr´
ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.3. Cancelaci´n de los puntos cr´
o
ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.4. Suma conexa de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

iii
11.5. Clasificaci´n de las variedades . . . . . . . . . ....