Vector Gradiente

TALLER NO. 8 Calculo II.



1. En los ejercicios siguientes, encuentre los extremos relativos de la funci´n o dada. f (x, y) = 16 − x2 − y 2 ,
2 2

f (x, y) =

x2 + y 2 + 1 f (x, y) =
1 x

f (x, y) = 18x − 32y − 36x − 128y − 110, f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy,

−

64 y

+ xy

f (x, y) = x2 − 4xy + y 3 + 4y

2. Determine los tres n´meros positivos cuya suma sea 24, y de maneraque u su producto sea el mayor posible. 3. Encuentre el punto del plano 3x + 2y − z = 5 que est´ m´s cercano al a a punto (1, −2, 3), y calcule la distancia m´ ınima. 4. Determine los puntos de la superficie y 2 − xz = 4 que est´n m´s cerca del e a origen, y calcule la distancia m´ ınima. 5. Una inyecci´n de x miligramos de cierto medicamento A y y miligramos o del medicamento B produce unarespuesta de R unidades, y R = x2 y 3 (c − x − y), donde c es una constante positiva. Qu´ dosis de cada medicamento e ocasionar´n la respuesta m´xima ? a a 6. Suponga que t horas despu´s de la inyecci´n de x miligramos de adrenalina e o la respuesta es de R unidades, y R(t, x) = te−t (c − x)x, donde c es una constante positiva. Qu´ valores de x y t producir´n la respuesta m´xima e a a ? 7. Se deseaelaborar una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10. Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0.30 d´ lares por pie cuadrado, determine o las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse. 8. Suponga que T grados es la temperatura en cualquier punto (x, y, z) de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4, y T = 100xy 2z. Obtenga los puntos de la esfera donde la temperatura es m´xima y tambi´n los puntos donde es m´ a e ınima. Adem´s, calcule la temperatura en estos puntos. a 9. Aplique el m´odo de multiplicadores de Lagrange para determinar los punt tos cr´ ıticos de la funci´n dada sujeta a la restricci´n. o o o f (x, y) = 25 − x2 − y 2 con la restricci´n x2 + y 2 − 4y = 0. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 con larestricci´n 3x − 2y + z − 4 = 0. o f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 con la restricci´n y 2 − x2 = 1. o f (x, y) = x2 + y, con la restricci´n x2 + y 2 = 9. o f (x, y, z) = xyz, con la restricci´n x2 + 2y 2 + 4z 2 = 4. o 10. Utilice multiplicadores de Lagrange para determinar la distancia m´s corta a del punto (1, 3, 0) al plano 4x + 2y − z = 5. 1

11. Calcule las distancias menor y mayor desde elorigen a un punto del elipsoide 9x2 + 4y 2 + z 2 = 36. 12. Si f (x, y, z) = 2x2 + 3y 2 + z 2 , utilice multiplicadores de Lagrange para determinar el punto del plano x + y + z = 5 en el cual f (x, y, z) es m´ ınimo. 13. Si T (x, y) grados es la temperatura en cualquier punto (x, y) del disco circular limitado por la circunferencia x2 + y 2 = 1 y T (x, y) = 2x2 + y 2 − y determine los puntos m´scalientes y los m´s fr´ del disco y la tempera a ıos atura en esos puntos. 14. Determine tres n´meros cuta suma sea 100 de modo que la suma de sus u cuadrados sea m´xima. a 15. Un frabricante produce cada d´ x unidades del art´ ıa ıculo A y y unidades dek art´ ıculo B. Si P (x, y) d´lares es la utilidad diaria por la venta de los o art´ ıculos, y P (x, y) = 33x + 66y + xy − x2 − 3y 2 , cua´ntasunidades de a cada art´ ıculo debe producir el fabricante cada d´ de modo que obtenga ıa la m´xima utilidad ? a 16. En cualquier punto (x, y) de la curva 4x2 + 12y 2 = 1 la temperatura es t grados, y T (x, y) = 4x2 + 24y 2 − 2x. Determine los puntos de la curva donde la temperatura es m´xima y donde es m´ a ınima. Tambi´n calcule la e temperatura en esos puntos. 17. Eval´e las siguientes integrales: u2 1 1 −1 4 1 1 0 π π/2 0 0 y2 1 y y2 1 0 ex 2x

xy 3 dydx, x dydx y y dxdy x

|x − y|dydx x dxdy y

sen

2

18. Calcule
R

y2 dxdy x2

donde R es la regi´n limitada por las rectas y = x, y = 2, y la hip´bola o e xy = 1. 19. Calcule la integral x2
R

9 − x2 dxdy

donde R es la regi´n acotada por la cincunferencia x2 + y 2 = 9. o 20. Determine el volumen del s´lido delimitado...