VECTORES 2

VECTORES
Vectores libres del plano
Definiciones
Sean A y B dos puntos del plano de la geometría elemental. Se llama vector AB al par ordenado

(A, B) . El punto A se denomina origen y al punto B extremo.

Se define BA como el opuesto de AB
Si se considera un segmento unidad u, la longitud del segmento AB con u como unidad de
denomina módulo del vector AB y se designa por AB .
Se define direcciónde un vector AB como la de la recta que lo contiene.
Se define sentido de un vector como cada una de las dos orientaciones opuestas de una misma
dirección
Se dice que dos vectores AB y CD son equipolentes si tienen igual módulo, dirección y
sentido, gráficamente, serán equipolentes aquellos vectores que unidos sus orígenes y sus extremos
formen un paralelogramo.

A cada clase de vectoresequipolentes se denomina vector libre.
!
a = AB
!
!
Se denomina −a al vector representado por BA , llamándole opuesto del a .

Operaciones con vectores
•
•

Suma de vectores
Producto de vectores por escalares

Suma
Es una operación interna del conjunto de los vectores, es decir, la suma de vectores da como
resultado otro vector. Gráficamente se puede hacer de dos formas, o por la regla de paralelogramo ódibujando un vector a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del último.

La resta de vectores se hace como la suma del opuesto:
!
! ! !
a−b =a+ −b

( )

1.
2.
3.
4.

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades:
! ! ! !
Conmutativa: a + b = b + a
! ! ! ! ! !
Asociativa: a + b + c = a + b + c
! ! ! !
Elemento neutro, 0 : a + 0 = a
! !
! !
Elemento opuesto, (−a) : a + (− a ) = 0

( )
()

( )

Estas propiedades dan al conjunto de los vectores libres del plano, con la operación de suma, la
estructura de grupo conmutativo.
Producto de un número real por un vector
!
!
Sea λ un número real y a un vector libre representado por AB , se define el producto λ ⋅ a como
!
!
otro vector con igual dirección que a , igual sentido que el de a sí λ > 0, sentido opuestosí λ < 0 y de
!
módulo proporcional al módulo de a .
!
λ ⋅ a = λ ⋅ AB = AC

!
!
Sí λ = 0 ó a = 0, por definición λ ⋅ a = 0
De lo anterior se deduce:

(−1)⋅ a! = −a!

Propiedades de la multiplicación de vectores por escalares:
i.
(λ + µ )⋅ a! = λa! + µa!
!
! !
!
λ ⋅ a + b = λa + λb
ii.
!
!
λ ⋅ (µa ) = (λµ )⋅ a
iii.
! !
iv.
1⋅ a = a

( )

A Los conjuntos que verifican una ley de composición interna(suma) y una ley de composición
externa (producto por escalares), con sus respectivas propiedades, se los denomina espacios vectoriales,
y a sus elementos, vectores.

Dependencia e independencia lineal en V2
! !
!
Sea u 1 , u 2 , ..., u n un subconjunto de vectores de V2 que designaremos por S. Se dice que
! !
!
S = {u 1 , u 2 ,..., u n } es un sistema linealmente dependiente ó sistema ligado síexisten n números reales,
a1, a2, ..., an no todos nulos, tales que:
!
!
!
a 1 u 1 + a 2 u 2 + ... + a n u n = 0
Sí la igualdad anterior se cumple solamente cuando
a1 = a2 = ... = an = 0
entonces se dice que el sistema S es linealmente dependiente ó sistema libre.
Cualquier vector libre de la forma:
!
!
!
!
v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n
! !
!
se dice que es combinación lineal de u 1 , u 2, ..., u n , con coeficientes respectivos
α1, α2, ..., αn
Teorema
En todo conjunto de vectores linealmente dependiente, se puede expresar uno de sus vectores
como combinación lineal del resto, siempre y cuando el vector en cuestión no tenga coeficiente nulo.
En V2 el máximo número de vectores linealmente independientes que puede existir es dos, entre
más de dos vectores siempre habrá dependencialineal. Dos vectores pueden o no ser linealmente
independientes, serán dependientes cuando sean proporcionales, serán independientes cuando no sean
proporcionales
En V2 si dos vectores son linealmente dependientes (proporcionales) serán paralelos, por lo
tanto, si dos vectores tienen distinta dirección serán linealmente independientes.

Si en un conjunto de n vectores existe proporcionalidad...