Vectores En R2 Y R3

VECTORES EN R²

Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Un par ordenado denúmeros reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distanciadirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.
Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectoresbidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.

VECTOR EN R2
Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a₁, a₂), y la representación a = (a₁, a₂). La magnitud |a| de a está dada por
lal=²a₁² + a₂²
La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lolargo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que

Suma de vectores
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = ((u1+v1),(u2+v2))
Gráficamente, se obtiene u + v trasladando el origen de v alextremo de u. El vector suma, cuyas componentes son (u1+v1, u2+v2) tiene por origen el origen de u y por extremo, el extremo de v.
Desde otro punto de vista, la suma u + v está dada por la diagonal del paralelogramo que forman u y v con sus pares paralelos, cuyo origen es el origen común.
El primero de los criterios de suma gráfica puede extenderse a la suma de más de dos vectores.Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo: u – v = u + (-v) Gráficamente, u - v es equivalente al segmento orientado cuyo origen es el extremo de v y su extremo es el extremo de u se aprecia que v + (u-v) = u

Distancia entre dos vectores
La distancia entre u y v debe interpretarse como la distancia entre sus extremos, cuando están aplicados en un mismo origen. Tendremosen cuenta que podemos representar los elementos de R2 como vectores o como puntos del plano.

En el gráfico anterior se aprecia que la distancia entre los extremos de u y de ves | u – v |.
Esto resulta práctico para determinar distancias entre puntos del plano, y el concepto puede extenderse a R3
Ejemplo:
Sean p1 = (-2, 7) y p2 = (-6, 4)
Determinar la distancia entre ambospuntos.
Basta considerar a los puntos como vectores: D p1p2= | p1-p2| = | 4, 3 | = 5
Producto de un vector por un escalar Sea α ∈ R y v ∈ R2: α v = (α v1, α v2) |α v | = |α | | v | ya que |α v | = + √ (α v1)2 + (α v2)2 = + √ α2 (v12 + v22 ) = |α | |v |
La dirección de αv no varía si α ≠ 0:
Sean θ y θ’ los ángulos que definen las direcciones de v y αv respectivamente
a) Siv1 = 0 y v2 ≠ 0 ⇒ α v1 = 0 y α v2 ≠ 0 ⇒ θ = θ’ = π/2
b) v1 = v2 = 0 es el vector nulo y α v también
c) v1≠ 0 ⇒

El sentido se invierte si α < 0, ya que en ese caso | α |v tiene igual sentido que v y αv y | α | v son opuestos entre sí

Vector unitario definido por el ángulo α formado con el eje positivo de las abscisas.
Sea 0 ≤ α < 2π
En...