vectores y planos

MATEMÀTIQUES EMPRESARIALS

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Resultados principales y clasificación de los sistemas lineales
3.2 Resolución de los sistemas lineales: regla de Cramer,método de Gauss
3.1.1 Regla de Cramer
3.1.2 Método de Gauss

3.3 Aplicaciones económicas de los sistemas lineales. Modelos de Leontief

3.1 Resultados principales y clasificación de los sistemaslineales
Consideramos un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas ( x1 , ..., xn )

a11 x1 + L + a1n xn = b1

LLLLLLLLL
a x + L + a x = b
mn n
m
 m1 1
y lo escribimos como una solaecuación matricial

M ⋅ X = B;
 a11 L a1n b1 
 a11 L a1n 
 x1 
 b1 




 
 
donde M :=  M O M  , X :=  M  y B :=  M  . Denotamos por (M B ) :=  M O M M  a la
a
a

x 
b 
 m1 L amn 
 n
 m
 m1 L amn bm 
matriz ampliada del sistema. Como hemos añadido una sola columna a la matriz del sistema M para
obtener la matriz ampliada (M B ) ,entonces tenemos que o bien rank (M B ) = rank (M ) o bien

rank (M B ) = rank ( M ) + 1 .
Teorema de Rouché-Frobenius
(a) Si rank (M B ) = rank ( M ) = n , entonces el sistema anterior tiene unaúnica solución (sistema
compatible determinado).
(b) Si rank (M B ) = rank ( M ) < n , entonces el sistema anterior tiene una infinitas soluciones (sistema
compatible indeterminado).
(c) Si rank (M B )≠ rank (M ) (es decir, rank (M B ) = rank ( M ) + 1 ), entonces el sistema anterior no
tiene solución (sistema incompatible).

Ejemplos:
1. Sistema compatible determinado

2. Sistema compatibleuna vez indeterminado

3. Sistema compatible dos veces indeterminado

4. Sistema incompatible

2

3.2 Resolución de los sistemas lineales: regla de Cramer, método de Gauss
3.2.1 Regla deCramer
Consideramos un sistema lineal de n ecuaciones y n incógnitas ( x1 , ..., xn )

a11 x1 + L + a1n xn = b1

LLLLLLLLL
a x + L + a x = b
nn n
n
 n1 1
y lo escribimos como una...