Velocidades Finales En Las Colisiones

Velocidades finales en cualquier colisión elástica:

Partimos de las ecuaciones, tanto de la conservación del ímpetu lineal como de la conservación de la energía cinética:m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2f (1)
m1v1i2+m2v2i2=m1v1f2+m2v2f2 (2)

De la ecuación (2) se puede re arreglar de la siguiente manera:

m1v1i2-m1v1f2=m2v2f2-m2v2i2
m1v1i2-vif2=m2v2f2-v2i2m1v1i+v1fv1i-v1f=m2v2i+v2fv2i-v2f (A)

De la ec. (1):

m1v1i-m1v1f=m2v2i-m2v2f
m1v1i-v1f=m2v2i-v2f (B)

Dividiendo A entre B y eliminando los términos iguales, setiene que:

m1v1i+v1fv1i-v1fm1v1i-v1f=m2v2i+v2fv2i-v2fm2v2i-v2f

Esto implica que,

v1i+v1f=v2i+v2f
v1i-v2i=v2f-v1f
v1i-v2i=-v1f+v2f (3)

Supongamos que conocemos losvalores de m1, m2, v1i y v2i y queremos conocer los valores de las incógnitas v1f y v2f. De la ecuación 3 se despeja el valor de v1f:

v1i-v2i=-v1f+v2f
v1f=v2i+v2f-v1i (4)

Sisustituimos la ec. 4 en la ec. 1 para conocer el valor de la velocidad 2 final, se tiene:

m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2f
m1v1i+m2v2i=m1v2i+v2f-v1i+m2v2f
m1v1i+m2v2i=m1v2i+m1v2f-m1v1i+m2v2fm1v1i+m2v2i-m1v2i+m1v1i=m1v2f+m2v2f
2m1v1i+v2im2-m1=v2fm1+m2
v2f=2m1v1i+v2im2-m1m1+m2

Ó,

v2f=2m1m1+m2v1i+m2-m1m1+m2v2i

Esta es la ecuación de la velocidad final del cuerpo 2en términos de ambas masas y de sus velocidades iniciales. Ahora esta ecuación se sustituirá en la ec. 4 para obtener v1f.

v1f=v2i+v2f-v1i

v1f=v2i+2m1m1+m2v1i+m2-m1m1+m2v2i-v1ivif=v2i+2m1v1im1+m2+m2v2i-m1v2im1+m2-v1i
v1f=v2im1+m2+2m1v1i+m2v2i-m1v2i-v1im1+m2m1+m2
v1f=v2im1+v2im2+2m1v1i+m2v2i-m1v2i-v1im1-v1im2m1+m2vif=2m1v1i-m1v1i-m2v1i+m1v2i+m2v2i+m2v2i-m1v2im1+m2
v1f=m1v1i-m2v1i+2m2v2im1+m2
vif=m1-m2v1im1+m2+2m2v2im1+m2

Ó

v1f=m1-m2m1+m2v1i+2m2m1+m2v2i

Por lo tanto,

v1f=m1-m2m1+m2v1i+2m2m1+m2v2i

v2f=2m1m1+m2v1i+m2-m1m1+m2v2i