Vibracion Libre Amortiguada

CURSO
INGENIERIA SISMO
RESISTENTE I
Sistemas de un g
grado de libertad.Amortiguamiento.-Vibración Libre con
amortiguamiento.- Decremento logarítmico

Ing. Omart Tello Malpartida

Amortiguamiento




El amortiguamiento es el proceso causante de que
un movimiento vibratorio disminuya
y su amplitud
p
con el tiempo.
Su origen puede ser diverso:
 p
por rozamiento de dos superficies
p
 comoconsecuencia de la fricción interna o
histéresis del propio material, etc.

Ingeniería Sismo Resistente I

Ing. Omart Tello Malpartida

Amortiguamiento






Para
P
r aproximar
pr xim r llass distint
distintass f
formas
rm s d
de amortiguamiento
m rti u mi nt
es habitual en dinámica estructural emplear un
amortiguamiento viscoso.
En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a la
velocidad yactúa en dirección opuesta al movimiento.
movimiento

Donde la constante c de amortiguamiento equivalente es
que origina
g
la misma disipación
p
de energía
g que
q la
tal q
producida por el amortiguamiento real de la estructura.

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Amortiguamiento

Ingeniería Sismo Resistente I

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Amortiguamiento

IngenieríaSismo Resistente I

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Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
i t

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M d l sistema
Modelo
i t
un gdl
dl

f I = Fuerza de Inercia de Masa
f D = Fuerza de amortiguamiento por acción de la masa
f S = Fuerza Elástica
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Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
it
P(t) =

0

cK0

; Movimiento amortiguado

.
..
m.u + c.u + k. u = 0
..
.
u + (c/m).u + (k/m). u = 0
Haciendo :

 = k / m

; c/m = 2 b  ; b = c / 2.m.

..
.
u +2 b  .u
u + u = 0


=b

Solución :
r2 + 2b r + 2 = 0
r1,2 = - b 
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 (b 

- 
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Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
i t
1er Caso : b > 1

Condición deSobre-amortiguamiento
Sobre amortiguamiento

Solución :
r2 + 2b r + 2 = 0
r1,2 = - b 
r1 = - 1
r2 = - 2

 (b 

- 

1 , 2 son reales

y

tt + C . e
tt
y = C1 . e
2

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C1 + C2

La solución general :
y

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t

Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
i t
2do Caso : b = 1

Condición de Amortiguamiento Critico

Solución :
r2 +2b r + 2 = 0
r1,2 = - b = - 
y
La solución general :
y = (C1 + C2 .t) e

 t

y

to
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t

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A
Amortiguamiento
ti
i t critico
iti (Ccr)
Sabemos :

C m  2 b
Si : b = 1

C cr  2  m
C cr


 2 


k
m


 m


C cr  2 k .m

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El amortiguamiento critico es el mínimo
amortiguamiento viscoso que senecesita en un sistema para retornar a
su posición inicial sin vibración.

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Factor de amortiguamiento
Critico ()
 Factor de amortiguamiento critico (

 = b)

C
C


b
Ccr 2m
 El factor de amortiguamiento critico

se determina experimentalmente

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Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
i t
3er Caso : b < 1Condición de Sub-amortiguamiento

Solución :
r2 + 2b r + 2 = 0
r1,2 = - b 

 (b 

- 

r1,2 = - b 

 i (b 

- 

La solución g
general :
y = (C1 . cos   1- b . t + C2 . sen   1- b . t ). e b.t
y

D =  

1- b

t
TD = 2 /   11 b
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t1

T

t2= t1 + T

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Resumen del movimiento
amortiguado
ti
d
RégimenSobreamortiguado

Régimen Critico

Régimen
Subamortiguado

F
Frecuencia
Amortiguada
Periodo
A
Amortiguado
ti
d

C > Ccr ; b >1

y = C1 . et + C2 . et
C = Ccr ; b =1

y = (C1 + C2 .t) e  t
C < Ccr ; b < 1

y = (C1 . cos  D . t + C2 . sen  D . t ). e b.t

D =  

1- b

TD = 2 /  D

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Vibración libre,
con amortiguamiento
ti
i...