Vibraciones mecánicas

1 Vibraciones Mecánicas
Los sistemas mecánicos simples proporcionan un buen ejemplo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales con
coeficientes constantes.
1.1 Preliminares
Consideremos el sistema mecánico Amortiguador-Masa-Resorte
Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es
directamente proporcional a la fuerza queactue sobre él e inversamente proporcional a la masa del curpo, es decir
F = ma
Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo
nos damos cuenta de que sobre dicha masa actuan tres fuerzas: la fuerza del resorte ( FR), la fuerza del amortiguador
( FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc).
Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las furezastanto del resorte como del amortiguador
Elemento Modelo
Resorte
FR = k (y2 − y1)
Amortiguador
FA = b (y02
− y01
)
1
donde k es la constane del resorte y b es la constante de amortiguamiento.
Atendiendo a lo anterior y apoyados en la segunda ley de Newton del movimiento, tendremos pues que si queremos
analizar el desplazamiento vertical de la masa el modelo matemático que lo describe seobtiene como sigue
ma =
X
F
ma = FE − FR − FA
como
FR = ky
FB = by0
a = y00
entonces
ma = FE − FR − FA
my00 = FE − ky − by0
my00 + by0 + ky = FE
donde m, k y b son constantes y FE es una fuerza externa (exitación del sistema). La anterior es una ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes no homogenera en general. En caso de que FE = 0 se dice que es un
movimiento libremientras que si FE 6= 0 se habla de un movimiento forzado.
Comenzaremos a analizar este sistema desde su forma más simple hacia lo más coplejo: primero movimientos
libres y después forzados.
1.2 Movimiento Libre
Si el modelo matemático para un sistema mecánico simple es
my00 + by0 + ky = 0
se habla de movimiento libre, además si se tiene que el sistema carece de amortiguamiento (b = 0) - lafricción
se puede ver como un tipo de fuerza de amortiguamiento - entonces se habla de un sistema no amortiguado o de
movimiento libre no amortiguado; en caso contrario (b 6= 0) se habla de movimiento libre amortiguado.
1.2.1 Movimiento Libre No Amortiguado
Consideraremos un sistema mecánico el cual experimenta un movimiento libre no amortiguado como el que se describe
a continuación
SituaciónModelo
my00 + ky = 0
y (0) = y0
2
Un problema de valor inicial asociado considera el estiramiento del resorete por debajo o por encima de la línea
de equilibrio estático (ver gráfico).
Para hacer análisis de este sistema definieremos ω0 =
q
k
m por lo que el modelo del sistema toma la forma
my00 + ky = 0
y00 +
k
m
= 0
y00 + ω20
y = 0
resolviendo esta ecuación
y00 + ω20
y = 0(1)
m2 + ω20
= 0
m = ±ω0i →
½
α = 0
β = ω0
y = A cos (ω0t) + B sin (ω0t) (2)
Aunque esta es la solución general de la ecuación, hay una forma alternativa de presentarla que proporciona más
infomación respecto del comportamiento del sistema que la que ésta nos da. Al tener una suma de funciones seno
y coseno con la misma frecuencia y amplitudes distintas, la suma de ella es una funciónsinusoidal con la misma
frecuencia pero con un desfasamiento y con amplitud diferente.
Para lograr nuestro objetivo consideraremos las siguientes relaciones
C = √A2 + B2
cos α = A
C
sin α = A
C
para calcular el valor del ángulo α es necesario calcular tan−1
¡B
A
¢
. La forma natural del la tangente, considera valores
angulares solo entre −π
2 < x < π
2, mientras que α tiene valoresdesde 0 hasta 2π. Para ver cual es el comportamiento
del ángulo respecto de los valores de A y B tenemos que
α =


tan−1
¡B
A
¢
(A > 0, B > 0) primer cuadrante
π + tan−1
¡B
A
¢
(A < 0) segundo y tercer cuadrante
2π + tan−1
¡B
A
¢
(A > 0, B < 0) cuarto cuadrante
Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación (2) por C
C tendremos que
y (t) = C
μ
A
C
cos (ω0t) +
B
C...