Vibrciones Mecanicas De 2 A N Grados De Libertad

Movimiento libre amortiguado:

Las fuerzas amortiguadoras que actúan sobre un cuerpo son consideradas proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. Se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton que:

F=m.a
W-F-Fa=m.amg-ks+x-β.V=m.a
m.g-k.s-k.x-β.V=m.a
0-kx-β.V=m.a
-Kmx-βmx'=m.a

Donde β es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.
Al dividir la ecuación entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es:
x''+x'βm+Kmx=0
O bien

    x+x2λ+w²x=0

Donde:   2λ = β/ m  y   w²= (k/m)

 
Tres casos posibles dependiendo de λ²-w²:

    Caso 1:
El sistema esta sobreamortiguado. El coeficiente de amortiguamiento β es grande comparado   con la constante del resorte λ
λ²-w²>O
La solución:
    xt=e-λt(C1.eλ2-w2.t+C2.e-λ2-w2.t)

  Caso 2:
Este sistema esta críticamente amortiguado

λ2-w2=0
Lasolución es:
    xt=e-λt(C1+C2*t)

    Caso 3:
Este sistema sub amortiguado
λ2-w2<0
xt=e-λt.C1.cosw2-λ2.t+C2.senw2+λ2

SISTEMA CON 2 GRADOS DE LIBERTAD AMORTIGUADO

Los sistemas que requieren más de una coordenada independiente para poder describir tiene varios grados de libertad .Los elementos de inercia presentes en el sistema son los que determinan la cantidad de grados delibertad. Por ejemplo, en un sistema con dos grados de libertad puede haber un elemento de inercia cuyo movimiento se describe por medio de dos coordenadas independientes o dos elementos de inercia cuyos movimientos se expresan mediante dos coordenadas independientes. En general, la cantidad de grados de libertad de un sistema no solo lo determinan los elementos de inercia presentes en un sistema, sinotambién las restricciones en el sistema .La aplicación de métodos de equilibrio de fuerzas o equilibrio de momentos o ecuaciones de Lagrange determinan las ecuaciones rectoras del movimiento en sistemas vibratorios .Para describir las respuestas de sistemas de un solo grado de libertad se requiere solo la información del tiempo. Aparte de la información del tiempo, necesitamos también datosacerca del espacio para describir las respuestas de los sistemas con más de un grado de libertad, en este caso dos grados de libertad. Esta información sobre el espacio se expresa en términos de formas del modo, las cuales se determinaran a partir de la solución de la vibración libre. Cada una de las formas del modo se relaciona con una frecuencia natural del sistema; esta forma proporcionainformación con respecto a las posiciones relativas espaciales de los elementos de inercia en términos de las coordenadas generalizadas elegidas. La información acerca del espacio que se obtuvo a partir del problema de la vibración libre también puede proporcionar una para determinar la respuesta forzada de un sistema con varios grados de libertad .También señalaremos que es posible usar las propiedades delas formas del modo para construir la respuesta de un sistema con varios grados de libertad, en términos de las repuestas de sistemas de un solo grado de libertad equivalentes. El concepto de estabilidad también se tratara.
1.1 ECUACIONE RECTORAS
Presentaremos dos enfoques para determinar las ecuaciones rectoras del movimiento. El primero se basa en los métodos de equilibrio de fuerzas y deequilibrio de momentos, y el segundo, e las ecuaciones de Lagrange. Para facilitar las operaciones algebraicas, el número de grados de libertad de los sistemas físicos que se eligieron es menor o igual a cinco.
1.1.1 Método de Equilibrio de fuerzas y de equilibrio de momentos

Los principios básicos de los métodos de equilibrio (o balanceo) de fuerzas y de equilibrio (o balanceo) de...