Vicectriz

ESPACIOS VECTORIALES
Introducción.
La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...
Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ y de ℜ .
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En Matemáticas, tratamos deabstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; • Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplenciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w) • Conmutativa: v+u=u+v. • Existe un elemento neutro, el vector •

0 , tal que 0 + v = v paracualquier vector v. Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β (α v) = ( β α ) v • Distributivas:

Respecto de la suma de escalares: ( α + β ) v = α v + β v Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquiervector v.

Definición: espacio vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean losescalares. • Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v = 0 ( α escalar, v vector) entonces o bien es α =0 o bien es v = 0 . Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 1

Ejemplos de espacios vectoriales. 1) El espacio ℜ n , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio
vectorial real,en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ n ).

2) Consideremos el conjunto P2 de lospolinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:
P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo: • Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2. •Producto por un escalar real: λ∈ ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomiosde grado = 3 (exactamente 3) con
coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1 Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

4) Consideremos el conjunto M2x2...