vigas curvas de hibbeler

VIGAS CURVAS
La fórmula de la deflexión es aplicable a miembros prismáticos rectos, ya que, como se mostró antes, para miembros rectos la deformación unitaria normal varía linealmente desde el eje neutro. Sin embargo, si el miembro es curvo esta hipótesis no es correcta, por lo que debemos desarrollar otra ecuación que describa la distribución del esfuerzo. En esta sección consideramos elanálisis de una viga curva, es decir, de un miembro con eje curvo y sometido a flexión. Ejemplos típicos incluyen ganchos y eslabones de cadenas. En todos los casos, los miembros no son delgados pero tienen una curva aguda y las dimensiones de sus secciones transversales son grandes comparadas con sus radios de curvatura.
En el análisis se supone que la sección transversal es constante y tiene un ejede simetría perpendicular a la dirección del momento aplicado M, (Fig). Se supone además que el material es homogéneo e isotrópico y que se comporta de manera elastoplástico cuando se aplica la carga. Como en el caso de una viga recta, supondremos para una viga curva que las secciones transversales del mimbro permanecen planas después de aplicado el momento. Además, cualquier distorsión de lasección transversal dentro de su propio plano será despreciada.
Para efectuar el análisis, tres radios, medidos desde el centro de curvatura O del miembro, se identifican en la Fig y son: ṝ, que define la posición conocida del centroide de la sección transversal; R. que define la posición aún no determinada del eje neutro, y r, que localiza un punto arbitrario o elemento de área dA sobre la seccióntransversal. Note que el eje neutro se encuentra dentro de la sección transversal, ya que el momento M genera compresión en las fibras superiores de la viga y tensión en sus fibras inferiores, y por definición, el eje neutro es una línea de esfuerzo y deformación unitaria nulos.

Si aislamos un segmento diferencial de la viga, fig, el esfuerzo tiende a deformar el material en forma tal que cadasección transversal girará un ángulo . La deformación unitaria ϵ en la franja arbitraria de material localizada en r estará ahora determinada. Esta franja tiene una longitud original r dθ, Fig b. sin embargo, debido a las rotaciones , el cambio total en la longitud de la franja es . En consecuencia,


Si definimos ,que es constante para cualquier elemento particular, tendremos:


A diferenciadel caso de vigas rectas, podemos ver que aquí la deformación unitaria normal no es una función lineal de r sino que varía en forma hiperbólica. Esto ocurre aun cuando la sección transversal de la viga permanece plana después de la deformación. Como el momento ocasiona que el material se comporte elásticamente, la ley de Hooke es aplicable, por lo que el esfuerzo en función de la posición estádado por:


Esta variación es también hiperbólica y, como ya ha sido establecida, podemos determinar la posición del eje neutro y relacionar la distribución del esfuerzo con el momento interno resultante M.







Para obtener la posición R del eje neutro, requerimos que la fuerza interna resultante causada por la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal sea igual acero, es decir,
















La integral en la ecuación puede ser evaluada para varias geometrías de sección transversales. Los resultados para algunas secciones comunes se dan en la tabla.










Para relacionar la distribución del esfuerzo con el momento flexionante resultante, requerimos que el momento interno resultante sea igual al momento de ladistribución del esfuerzo calculado respecto al eje neutro. De la figura, el esfuerzo σ, que actúa sobre el elemento de área y que está localizado a una distancia y del eje neutro . Este momento es positivo, ya que por la regla de la mano derecha está dirigido en la misma dirección que M.Para la sección transversal entera, requerimos .
Como , y σ está definida por la ecuación,...