Volumen

Longitud de una curva plana



Vamos a determinar la longitud $s$ del arco de una curva con ecuación $y=f(x)$, comprendida entre los puntos $A(a,f(a))$, $B(b,f(b))$.





Como se muestraen la figura anterior, dividimos el arco $AB$ en $n$ partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.

Por ejemplo, el segmento $DE$ tendrá como longitud\begin{displaymath}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}.\end{displaymath}


Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva $AB$, mediante la suma:\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}.\end{displaymath}

Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que:\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^n\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}\end{displaymath}

nos da el arco $AB$, siempre que el límite exista.

Para expresar el límite como una integral tenemos losiguiente: supongamos que la función con ecuación $y=f(x)$ es continua y posee derivada continua en cada punto de la curva, donde $A(a,f(a))$ hasta $B(b,f(b))$. Luego, por el teorema del valor mediopara derivadas, existe un punto $D^*(x_i^*,y_i^*)$ entre los puntos $D$ y $E$ de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda $DE$, esto es:
\begin{displaymath}f^{\prime}(x_i^*)=\frac{\Deltay_i}{\Delta x_i}\quad\textrm{o sea}\quad\Delta y_i=f^{\prime}(x_i^*)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
Luego
\begin{eqnarray*} &&\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\sqrt{(\Delta x_i)^2+......=1}^n\sqrt{1+\big[f^{\prime}(x_i^*)\big]^2}\cdot\Delta x\right) \end{eqnarray*}


que por definición corresponde a la integral:\begin{displaymath}\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\end{displaymath}

(hemos expresado $f^{\prime}(x)$ como $dy/dx$).

Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si $x$ puede expresarse como función de $y$,...