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Apuntes de Matemática

Cuantificadores y Métodos de Demostración
1. Cuantificadores......................................................................................................... 1 1.1. Cuantificador Existencial ................................................................................. 2 1.2. CuantificadorUniversal.................................................................................... 3 2. Métodos de Demostración ........................................................................................ 4

1. Cuantificadores
Hasta ahora habíamos estudiado el valor de verdad de las proposiciones pero ahora analizaremos el cuándo son verdades y para esto necesitaremos los cuantificadores, es decir, un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementosde un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Definición: Una función proposicional es una expresión que contiene una o más de una variable que al ser sustituidas por elementos del universo (U) dan origen a una proposición. Nótese entonces que la función proposicional no es una proposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de verdad. Notación: Escribiremos por funciónproposicional, p ( x ) ∨ p ( x, y ) según sean una o dos variables.

Ejemplos 1 Sea U = IN Verdadero 2 Sea U = IR
p ( x) : x + 4 > 2 p (5) : 5 + 4 > 2 p ( −5) : −5 + 4 > 2 p ( x, y ) : 2 x − 5 y = 5 entonces p (1,3) : 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = 5 Es Falso Es p (5,1) : 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 1 = 5

entonces

Es verdadero Es Falso

Observación: Si negamos una función proposicional, formamos una nueva funciónproposicional.

Cuantificadores

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Ejemplos 1 Sea p ( x, y ) : 2 x − 5 y = 5 entonces p ( x, y ) : 2 x − 5 y ≠ 5 2 Sea p(u, z ) : u 3 − z 2 = 4 entonces p (u , z ) : u 3 − z 2 ≠ 4

Cuando utilizamos funciones proposicionales podemos incorporar dos nuevos símbolos denominados cuantificadores. Hay dos formas de cuantificar una funciónproposicional:

1.1.

Cuantificador Existencial

Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:
∃x; p ( x) Se lee “existe x tal que p(x)”

y significa que hay al menos un elemento “a” que pertenece al universo, de modo que p(a) es verdadera.

Ejemplos 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando que U = { ,2,3,4,5,6,7} 1 a. ∃x ∈ U ; x 2− x = 13 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6
12 − 1 = 13 2 2 − 2 = 13 3 2 − 3 = 13 4 2 − 4 = 13 5 2 − 5 = 13 6 2 − 6 = 13

falso falso falso falso falso falso

La proposición es falsa, ya que para todos lo elementos de U la proposición es falsa b. ∃x ∈ U ; x 2 − x > 20 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

12 − 1 > 20 2 2 − 2 > 20 3 2 − 3 > 20 4 2 − 4 > 20 5 2 − 5 > 20 6 2 − 6 > 20

falso falso falso falso falsoverdadero

Cuantificadores

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La proposición es verdadera, ya que existe un elemento de U que satisface la proposición. Observación Dentro de este cuantificador nos encontramos con el cuantificador ∃! que se lee existe un único y que es verdadero si y solo si la proposición es solamente verdadera en una ocasión.

1.2.Cuantificador Universal

Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:
∀x; p ( x ) Se lee “para todo x, p(x)”

y significa que todos los elementos x de U hacen que p(x) sea verdadera.

Ejemplos 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando que U = { ,2,3,4,5,6} 1 a. ∀x ∈ U ; x 2 < 34 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6
12 < 34 2 2 < 34 3 2 < 34 4 2 < 34 5 2< 34 6 2 < 34

verdadera verdadera verdadera verdadera verdadera falso

La proposición es falsa, ya que no todos los elementos de U satisfacen la proposición. b. ∀x ∈ U ;5 x − 1 > 2 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

5 ⋅1 − 1 > 2 5⋅ 2 −1 > 2 5⋅3 −1 > 2 5⋅ 4 −1 > 2 5⋅5 −1 > 2 5⋅ 6 −1 > 2

verdadero verdadero verdadero verdadero verdadero verdadero

La proposición es verdadera, ya que todos los...