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EJERCICIOS DE CONJUNTOS NUMERABLES
Profa. Gloria Aguilar Cruz
1. Demuestra que cada subconjunto de un conjunto numerable es numerable.
2. Demuestra que cadasubconjunto de un conjunto finito es finito.
3. Demuestra que el conjunto de sucesiones infinitas de {0, 1} no es numerable. (Tip: Utiliza el proceso dediagonalizaci´on de Cantor)
4. Sea A un conjunto numerable. Demuestra que el conjunto de todas las
sucesiones finitas de A tambi´en es numerable.
5. Demuestra que elconjunto de todos los n´
umeros racionales es numerable. (Cuidado con los racionales que tienen dos representaciones distintas)
6. Demuestra que Z + × Z + esnumerable.
7. Demuestra que si A y B son conjuntos numerables, entonces A ∪ B es
un conjunto numerable.
8. Demuestra que la uni´on de una colecci´on numerable deconjuntos numerables es numerable.
9. Da una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los n´
umeros
naturales impares y todos los naturales.
10. Demuestra quecada conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio de ´el mismo. (Tip: Cada
conjunto infinito tiene un subconjuntonumerable)
11. Da un ejemplo de una colecci´on numerable de conjuntos finitos cuya
uni´on no es finita.
12. Un n´
umero real x se dice algebraico si x es la ra´ız de unaecuaci´on
polinomial c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn donde todos los c’s son enteros. Demuestra que el conjunto de todos los n´
umeros algebraicos esnumerable.
13. Un n´
umero real x se dice trascendente si x no es un n´
umero algebraico.
Demuestra que el conjunto de n´
umeros trascendentes no es numerable.