Yaya

LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO
Prof. Hugo Omar Pajello
hpajello@ing.unrc.edu.ar
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Río Cuarto

_____________________ INTRODUCCIÓN – DEFINICIONES ____________________

• Proporción
Es la igualdad entre dos razones.

Proporción de cuatro términos ó proporción discontinua:
Es de la forma: [pic]
Los términos a y d se llamanextremos y los términos b y c medios de la proporción.

Proporción de tres términos o proporción continua:
Es de la forma [pic] el término b se llama medio proporcional entre a y c.

• Media y extrema razón de un segmento
Se dice que un punto C divide a un segmento [pic] en “media y extrema razón” cuando la parte mayor de esta división x es medio proporcional entre elsegmento total a y la parte menor y

[pic]

Esto también se llama “división áurea” del segmento o “divina proporción”.
La parte mayor, x, se llama “segmento áureo de a”.

• Relación entre el segmento áureo “x” y su resto “y” (primera sorpresa!!)

Si x es el segmento áureo de a, resultará que: [pic]
restando 1 en ambos miembros [pic]
pero como a =x + y resulta: y = a – x
reemplazando en la expresión anterior: [pic]

invirtiendo estas razones obtenemos que [pic] (1)

entonces ¡¡“y”es segmento áureo de “x”… y este proceso será continuo !!

____________________DOS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ___________________

1) Dado un segmento áureo ¿cómo encontrar elsegmento total?

Con diámetro igual al segmento áureo AB se traza una circunferencia tangente al segmento áureo en un extremo del mismo.
La semirrecta trazada desde el otro extremo del segmento áureo y que pasa por el centro de la circunferencia, determina con ésta, el segmento total

Demostración:
Recordando que se llama “potencia de un punto con respecto a una circunferencia” al producto delos segmentos que se obtienen al trazar por ese punto una secante a la circunferencia.
Por ejemplo:

[pic] [pic]

La potencia de A respecto a la circunferencia del ejemplo anterior, será:
[pic]
La parte mayor entre [pic] y [pic] es [pic] que es igual a la medida del segmento áureo:
[pic] = [pic].
Entonces: [pic] = [pic]
de donde obtenemos [pic]
Luego [pic] esel segmento total.

2) Dado el segmento [pic] ¿cómo encontrar su segmento áureo?

En la construcción anterior, el segmento [pic] quedó dividido en dos, la parte menor [pic]y la parte mayor [pic] que es su segmento áureo.
Por la propiedad (1) la parte menor [pic]es el segmento áureo de la parte mayor [pic] que es igual a [pic] . En consecuencia, llevando la medida de [pic] sobreel segmento [pic], obtenemos su segmento áureo.
[pic]

___________________ EL NÚMERO DE ORO Ó NÚMERO ÁUREO ____________________

Si x es el segmento áureo de a, entonces, como a = x + y , resulta y = a – x .
[pic]
Luego como:
[pic] [pic] [pic] [pic] a (a – x) = x2 [pic] x2 + ax -a2 = 0

[pic] = [pic] = [pic] = [pic]
como x > 0
[pic]

dedonde resulta que la razón entre la longitud de un segmento y la de su segmento áureo, llamada razón áurea es:
[pic]

Esta constante [pic] es un número irracional cuadrático conocido como número áureo ó número de oro.
Entonces: [pic] = [pic]
racionalizando el denominador
[pic] .[pic] = [pic] = [pic] = [pic] [pic] [pic] = [pic]=[pic] (2)

Esta expresión esmás conocida que la anterior, entonces:
si en la proporción anterior [pic] consideramos a = 1
la razón áurea será [pic] = [pic] [pic] [pic] (3)

y la citada proporción será: [pic] [pic] [pic]
además, como x + y = 1
resulta que x + x2 = 1

y utilizando (3) nos queda: [pic]...